(2.5 pontos) Vimos no nosso curso que as condições de Cauchy-Riemann estabelecem fortes restrições de interligação entre as partes real e imaginária de uma função holomorfa. Seja
uma função complexa definida em um conjunto aberto
, cuja a parte real é dada por
É possível se escolher
de modo que
seja holomorfa em
? Em caso afirmativo, determine a parte imaginária
.
Passo 1
O enunciado dá a parte real da função complexa
definida num aberto
:
A pergunta é: é possível escolher uma função
de forma que
seja holomorfa em
? Se sim, determine
. Vou listar as informações relevantes que temos:
- Dado:
para todo . - Objetivo: encontrar
tal que seja holomorfa em (ou concluir que não é possível).
Nada mais será assumido.
Passo 2
Lembra do que significa
ser holomorfa (bem devagar): se
é complexamente diferenciável em um aberto, então as derivadas parciais de
e
existem e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Essas equações são (aqui explico cada símbolo):
-
é a derivada parcial de em relação a , -
é a derivada parcial de em relação a , - análogas para
.
As fórmulas de Cauchy–Riemann são:
Vou usar essas equações para checar se existe
. Além disso, uma consequência importante (e útil) é que se
e
satisfazem Cauchy–Riemann e são
, então
e
são harmônicas, ou seja, satisfazem a equação de Laplace:
Explico por que isso vale: derive a primeira CR em
e a segunda em
, some e use igualdade dos derivados mistos (hipótese
) para obter
. Isso é um teorema padrão; vamos aplicá‑lo.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
. Faço tudo passo a passo:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Agora as segundas derivadas:
Portanto a soma (Laplaciano) é
Passo 4
Compare com a condição necessária que descrevi: se
fosse holomorfa em
então
deveria ser harmônica em
, ou seja,
em
. Mas do cálculo acima obtemos
para todo ponto. Logo
não é harmônica em nenhum ponto interior de
. Isso já dá a contradição: não existe
de classe
em
tal que
seja holomorfa em
.
Passo 5
Para reforçar a impossibilidade, faço uma tentativa direta de construir
a partir das equações de Cauchy–Riemann e mostro a contradição explícita (isto ajuda a entender o porquê de não funcionar na prova):
- Das CR temos
. Integrando em (tratando como constante):
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em
).
- Agora calcule
a partir dessa expressão:
- Mas a outra equação de Cauchy–Riemann pede
. Igualando:
Isso é impossível porque
depende apenas de
, enquanto o lado direito depende de
. Portanto não existe
que resolva isso para todos
num aberto. Contradição direta.
Passo 6
Conclusão didática e incentivo: as duas justificativas (a do Laplaciano e a integração direta das CR) mostram a mesma ideia — a parte real
tem curvatura excessiva (Laplaciano
) e não pode ser a parte real de uma função holomorfa em um aberto. No momento da prova, este problema normalmente se resolve rapidamente lembrando que a parte real de uma função holomorfa deve ser harmônica; calcular o Laplaciano de
já dá a resposta em poucos passos. Força aí — é um raciocínio curto e elegante!
Resposta
Não — não existe função
em
tal que
seja holomorfa (pois
, logo
não é harmônica).