(2.5 pontos) Vimos no nosso curso que as condições de Cauchy-Riemann estabelecem fortes restrições de interligação entre as partes real e imaginária de uma função holomorfa. Seja f= (u, v)=u+i v uma função complexa definida em um conjunto aberto \Omega \subset \mathbb{C}, cuja a parte real é dada por
u(x, y)=u(x+i y)=x^{2}+y^{2} .
É possível se escolher v(x, y)=v(x+i y) de modo que f seja holomorfa em \Omega ? Em caso afirmativo, determine a parte imaginária v.

Passo 1

O enunciado dá a parte real da função complexa f=u+iv definida num aberto \Omega\subset\mathbb{C}:
u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
A pergunta é: é possível escolher uma função v(x,y) de forma que f seja holomorfa em \Omega? Se sim, determine v. Vou listar as informações relevantes que temos:
  • Dado: u(x,y)=x^{2}+y^{2} para todo (x,y)\in\Omega.
  • Objetivo: encontrar v(x,y) tal que f=u+iv seja holomorfa em \Omega (ou concluir que não é possível).
    Nada mais será assumido.

Passo 2

Lembra do que significa f ser holomorfa (bem devagar): se f é complexamente diferenciável em um aberto, então as derivadas parciais de u e v existem e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Essas equações são (aqui explico cada símbolo):
  • u_x é a derivada parcial de u em relação a x,
  • u_y é a derivada parcial de u em relação a y,
  • análogas para v_x,v_y.
    As fórmulas de Cauchy–Riemann são:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Vou usar essas equações para checar se existe v. Além disso, uma consequência importante (e útil) é que se u e v satisfazem Cauchy–Riemann e são C^2, então u e v são harmônicas, ou seja, satisfazem a equação de Laplace:
u_{xx}+u_{yy}=0,\qquad v_{xx}+v_{yy}=0.
Explico por que isso vale: derive a primeira CR em x e a segunda em y, some e use igualdade dos derivados mistos (hipótese C^2) para obter \\ u_{xx}+u_{yy}=0. Isso é um teorema padrão; vamos aplicá‑lo.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Faço tudo passo a passo:
  • Derivada em relação a x:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x.
  • Derivada em relação a y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.
Agora as segundas derivadas:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_x)=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(u_y)=\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2.
Portanto a soma (Laplaciano) é
u_{xx}+u_{yy}=2+2=4.

Passo 4

Compare com a condição necessária que descrevi: se f fosse holomorfa em \Omega então u deveria ser harmônica em \Omega, ou seja, u_{xx}+u_{yy}=0 em \Omega. Mas do cálculo acima obtemos
u_{xx}+u_{yy}=4\neq 0
para todo ponto. Logo u não é harmônica em nenhum ponto interior de \Omega. Isso já dá a contradição: não existe v de classe C^2 em \Omega tal que f seja holomorfa em \Omega.

Passo 5

Para reforçar a impossibilidade, faço uma tentativa direta de construir v a partir das equações de Cauchy–Riemann e mostro a contradição explícita (isto ajuda a entender o porquê de não funcionar na prova):
  • Das CR temos v_y=u_x=2x. Integrando em y (tratando x como constante):
v(x,y)=\int 2x\,dy = 2xy + h(x),
onde h(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em y).
  • Agora calcule v_x a partir dessa expressão:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(2xy+h(x))=2y+h'(x).
  • Mas a outra equação de Cauchy–Riemann pede v_x=-u_y=-2y. Igualando:
2y+h'(x) = -2y \quad\Rightarrow\quad h'(x) = -4y.
Isso é impossível porque h'(x) depende apenas de x, enquanto o lado direito depende de y. Portanto não existe h que resolva isso para todos (x,y) num aberto. Contradição direta.

Passo 6

Conclusão didática e incentivo: as duas justificativas (a do Laplaciano e a integração direta das CR) mostram a mesma ideia — a parte real x^{2}+y^{2} tem curvatura excessiva (Laplaciano 4) e não pode ser a parte real de uma função holomorfa em um aberto. No momento da prova, este problema normalmente se resolve rapidamente lembrando que a parte real de uma função holomorfa deve ser harmônica; calcular o Laplaciano de u já dá a resposta em poucos passos. Força aí — é um raciocínio curto e elegante!

Resposta

Não — não existe função v em \Omega tal que f=u+iv seja holomorfa (pois u_{xx}+u_{yy}=4\neq0, logo u não é harmônica).

Exercícios relacionados