Exercício 8.1.3. Calcule o volume do conjunto dado.
(a)
e
.
(b)
.
(c)
e
(d)
e
(e)
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Vou listar com calma o que cada item do enunciado pede e quais informações já estão dadas, para não nos perder depois.
(a) O conjunto é dado por
.
(b) O conjunto é dado por .
(c) O conjunto é dado por .
(d) O conjunto é dado por .
(e) O conjunto é dado por .
(b) O conjunto é dado por
(c) O conjunto é dado por
(d) O conjunto é dado por
(e) O conjunto é dado por
Em cada item a pergunta implícita é: “Qual é o volume desse conjunto?” As informações que temos são as desigualdades que definem cada região no espaço 3D. Não há figura enviada, só as desigualdades acima.
Passo 2
Conceitos e método geral que vou usar (passo-a-passo didático):
- Volume de um conjunto
é dado pela integral tripla do integrando sobre :
Isto é apenas a ideia de somar “pequenos volumes”
sobre a região.
- Pela Teorema de Fubini, quando as desigualdades permitem, podemos calcular a integral tripla como uma integral iterada (integrar uma variável de cada vez), escolhendo uma ordem conveniente. Vou quase sempre integrar primeiro em
quando os limites de são funções simples de , porque isso reduz a integral a uma dupla sobre a projeção no plano . - Quando a projeção no plano
for um disco (por exemplo ), é muito conveniente usar coordenadas polares: . Nesse caso o elemento de área vira (esse fator é o jacobiano da mudança de variável). Vou explicar cada mudança quando eu fizer.
Agora aplico esses princípios a cada item, mostrando todas as contas.
Passo 3
Resolução do item (a).
- Para cada ponto
com (o disco unitário), varia de até . Então a “espessura” em é . - Pelo método de integrar em
primeiro:
- Agora separamos a integral:
- Observação de simetria: o disco
é simétrico em relação à origem, então as integrais de e de sobre o disco são (porque para cada existe e as contribuições se cancelam). Assim só fica o termo do fator constante:
Passo 4
Resolução do item (b).
- O conjunto tem
entre e . Então o comprimento em é . Essa expressão só é não negativa quando . Logo a projeção no plano é novamente o disco unitário. - O volume é
- Como a região é um disco, usamos coordenadas polares:
, com . Em polares a função vira . Então
- Calculemos a integral em
:
- Agora a integral em
dá um fator , portanto
Passo 5
Resolução do item (c).
- As desigualdades dizem
. Para fixar a ordem: é natural projetar no plano . Para um dado entre e (explico já por que é o mínimo): como e , varia de até . Note que não pode ser negativo porque e implicaria . Assim e . - Para cada
nessa projeção temos . Então
- Integramos em
primeiro (é imediato):
Logo
- Para calcular
fazemos a substituição , então ou . Os limites: , . Assim
Passo 6
Resolução do item (d).
- As condições são
e . Para existir com precisamos que . Como , isso dá . Além disso, para existir algum com temos que , ou seja . Portanto a projeção no plano é a região com e . - Para cada
dessa projeção, varia de até . O comprimento em é . Logo
- Primeiro integramos em
:
(Interpretação rápida: é a integral de uma reta decrescente em
sobre o intervalo de comprimento
; dá um triângulo com base
e altura
, área
.)
- Então
- A função
é par (simétrica), então podemos usar o dobro do integral de a :
- Integramos termo a termo:
Assim
Passo 7
Resolução do item (e).
- As desigualdades são
e . A presença de implica . Para um dado satisfazendo o intervalo dado, a condição equivale a . Agora qual é o intervalo de ? Como , temos . E pelo enunciado . Portanto e, para cada , . - Para cada
assim, . Assim o volume é
- Integramos em
e em (são diretos):
Logo
- Fazemos a substituição
. Então ou . Os limites: , . Assim
- Como
e , temos . Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)