Exercício 8.1.3. Calcule o volume do conjunto dado.
(a) x^{2}+y^{2} \leq 1 e x+y+2 \leq z \leq 4.
(b) x^{2}+y^{2}+3 \leq z \leq 4.
(c) x \geq 0, x \leq y \leq 1 e 0 \leq z \leq e^{y^{2}}
(d) x \leq z \leq 1-y^{2} e x \geq 0
(e) 0 \leq z \leq \operatorname{sen}\left(y^{3}\right) e \sqrt{x} \leq y \leq \sqrt[3]{\pi}.

Passo 1

Vou listar com calma o que cada item do enunciado pede e quais informações já estão dadas, para não nos perder depois.
(a) O conjunto é dado por \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2} \leq 1,\; x+y+2 \leq z \leq 4\}.
(b) O conjunto é dado por \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+3 \leq z \leq 4\}.
(c) O conjunto é dado por \{(x,y,z)\mid x \ge 0,\; x \le y \le 1,\; 0 \le z \le e^{y^{2}}\}.
(d) O conjunto é dado por \{(x,y,z)\mid x \ge 0,\; x \le z \le 1-y^{2}\}.
(e) O conjunto é dado por \{(x,y,z)\mid 0 \le z \le \sin(y^{3}),\; \sqrt{x}\le y \le \sqrt[3]{\pi}\}.
Em cada item a pergunta implícita é: “Qual é o volume desse conjunto?” As informações que temos são as desigualdades que definem cada região no espaço 3D. Não há figura enviada, só as desigualdades acima.

Passo 2

Conceitos e método geral que vou usar (passo-a-passo didático):
  • Volume de um conjunto D\subset\mathbb{R}^3 é dado pela integral tripla do integrando 1 sobre D:
V=\iiint_{D} 1 \, dV.
Isto é apenas a ideia de somar “pequenos volumes” dV sobre a região.
  • Pela Teorema de Fubini, quando as desigualdades permitem, podemos calcular a integral tripla como uma integral iterada (integrar uma variável de cada vez), escolhendo uma ordem conveniente. Vou quase sempre integrar primeiro em z quando os limites de z são funções simples de x,y, porque isso reduz a integral a uma dupla sobre a projeção no plano xy.
  • Quando a projeção no plano xy for um disco (por exemplo x^{2}+y^{2}\le 1), é muito conveniente usar coordenadas polares: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta. Nesse caso o elemento de área dA vira r\,dr\,d\theta (esse fator r é o jacobiano da mudança de variável). Vou explicar cada mudança quando eu fizer.
    Agora aplico esses princípios a cada item, mostrando todas as contas.

Passo 3

Resolução do item (a).
  • Para cada ponto (x,y) com x^{2}+y^{2}\le 1 (o disco unitário), z varia de z_{\text{inf}}=x+y+2 até z_{\text{sup}}=4. Então a “espessura” em z é 4-(x+y+2)=2-(x+y).
  • Pelo método de integrar em z primeiro:
V=\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1} \bigl(4-(x+y+2)\bigr)\,dA =\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1} \bigl(2-x-y\bigr)\,dA.
  • Agora separamos a integral:
V=2\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1} dA \;-\; \iint_{x^{2}+y^{2}\le 1} x\,dA \;-\; \iint_{x^{2}+y^{2}\le 1} y\,dA.
  • Observação de simetria: o disco x^{2}+y^{2}\le 1 é simétrico em relação à origem, então as integrais de x e de y sobre o disco são 0 (porque para cada (x,y) existe (-x,y) e as contribuições se cancelam). Assim só fica o termo do fator constante:
V=2\cdot \text{Área do disco unitário}=2\cdot \pi\cdot 1^{2}=2\pi.Áá

Passo 4

Resolução do item (b).
  • O conjunto tem z entre z_{\text{inf}}=x^{2}+y^{2}+3 e z_{\text{sup}}=4. Então o comprimento em z é 4-(x^{2}+y^{2}+3)=1-(x^{2}+y^{2}). Essa expressão só é não negativa quando x^{2}+y^{2}\le 1. Logo a projeção no plano xy é novamente o disco unitário.
  • O volume é
V=\iint_{x^{2}+y^{2}\le 1} \bigl(1-(x^{2}+y^{2})\bigr)\,dA.
  • Como a região é um disco, usamos coordenadas polares: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; dA = r\,dr\,d\theta, com 0\le r\le 1,\; 0\le\theta\le 2\pi. Em polares a função x^{2}+y^{2} vira r^{2}. Então
V=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} \bigl(1-r^{2}\bigr)\, r\,dr\,d\theta.
  • Calculemos a integral em r:
\int_{0}^{1} \bigl(1-r^{2}\bigr) r\,dr = \int_{0}^{1} \bigl(r - r^{3}\bigr)\,dr = \left[\tfrac{1}{2}r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
  • Agora a integral em \theta dá um fator 2\pi, portanto
V = 2\pi \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Resolução do item (c).
  • As desigualdades dizem x\ge 0,\; x\le y\le 1,\; 0\le z\le e^{y^{2}}. Para fixar a ordem: é natural projetar no plano xy. Para um dado y entre 0 e 1 (explico já por que 0 é o mínimo): como x\ge0 e x\le y, x varia de 0 até y. Note que y não pode ser negativo porque x\ge 0 e x\le y implicaria y\ge 0. Assim y\in[0,1] e x\in[0,y].
  • Para cada (x,y) nessa projeção temos z\in[0,e^{y^{2}}]. Então
V=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}\int_{z=0}^{e^{y^{2}}} 1 \, dz\,dx\,dy.
  • Integramos em z primeiro (é imediato):
\int_{z=0}^{e^{y^{2}}} 1\,dz = e^{y^{2}}.
Logo
V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{y} e^{y^{2}}\,dx\,dy =\int_{0}^{1} e^{y^{2}}\bigl(\int_{0}^{y} dx\bigr)\,dy =\int_{0}^{1} y\, e^{y^{2}}\,dy.
  • Para calcular \int_{0}^{1} y e^{y^{2}}\,dy fazemos a substituição u=y^{2}, então du=2y\,dy ou y\,dy=\tfrac{1}{2}du. Os limites: y=0\mapsto u=0, y=1\mapsto u=1. Assim
\int_{0}^{1} y e^{y^{2}}\,dy = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \tfrac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}(e-1).

Passo 6

Resolução do item (d).
  • As condições são x\ge 0 e x\le z\le 1-y^{2}. Para existir z com x\le z\le 1-y^{2} precisamos que x\le 1-y^{2}. Como x\ge 0, isso dá 0\le x\le 1-y^{2}. Além disso, para existir algum x com 0\le x\le 1-y^{2} temos que 1-y^{2}\ge 0, ou seja -1\le y\le 1. Portanto a projeção no plano xy é a região com y\in[-1,1] e x\in[0,1-y^{2}].
  • Para cada (x,y) dessa projeção, z varia de z=x até z=1-y^{2}. O comprimento em z é (1-y^{2})-x. Logo
V=\int_{y=-1}^{1}\int_{x=0}^{1-y^{2}} \bigl((1-y^{2})-x\bigr)\,dx\,dy.
  • Primeiro integramos em x:
\int_{0}^{1-y^{2}} \bigl((1-y^{2})-x\bigr)\,dx = (1-y^{2})(1-y^{2}) - \tfrac{1}{2}(1-y^{2})^{2} = \tfrac{1}{2}(1-y^{2})^{2}.
(Interpretação rápida: é a integral de uma reta decrescente em x sobre o intervalo de comprimento 1-y^{2}; dá um triângulo com base 1-y^{2} e altura 1-y^{2}, área \tfrac{1}{2}(1-y^{2})^{2}.)
  • Então
V=\int_{-1}^{1} \tfrac{1}{2}(1-y^{2})^{2}\,dy.
  • A função (1-y^{2})^{2} é par (simétrica), então podemos usar o dobro do integral de 0 a 1:
V=\tfrac{1}{2}\cdot 2\int_{0}^{1}(1-2y^{2}+y^{4})\,dy = \int_{0}^{1}(1-2y^{2}+y^{4})\,dy.
  • Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}1\,dy = 1,\qquad \int_{0}^{1}2y^{2}\,dy = \tfrac{2}{3},\qquad \int_{0}^{1} y^{4}\,dy = \tfrac{1}{5}.
Assim
V = 1 - \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{5} = \tfrac{8}{15}.

Passo 7

Resolução do item (e).
  • As desigualdades são 0\le z\le \sin(y^{3}) e \sqrt{x}\le y \le \sqrt[3]{\pi}. A presença de \sqrt{x} implica x\ge 0. Para um dado y satisfazendo o intervalo dado, a condição \sqrt{x}\le y equivale a 0\le x\le y^{2}. Agora qual é o intervalo de y? Como \sqrt{x}\ge 0, temos y\ge 0. E pelo enunciado y\le \sqrt[3]{\pi}. Portanto y\in[0,\sqrt[3]{\pi}] e, para cada y, x\in[0,y^{2}].
  • Para cada (x,y) assim, z\in[0,\sin(y^{3})]. Assim o volume é
V=\int_{y=0}^{\sqrt[3]{\pi}}\int_{x=0}^{y^{2}}\int_{z=0}^{\sin(y^{3})} 1 \,dz\,dx\,dy.
  • Integramos em z e em x (são diretos):
\int_{z=0}^{\sin(y^{3})}1\,dz = \sin(y^{3}), \qquad \int_{x=0}^{y^{2}} \sin(y^{3})\,dx = y^{2}\sin(y^{3}).
Logo
V=\int_{0}^{\sqrt[3]{\pi}} y^{2}\sin(y^{3})\,dy.
  • Fazemos a substituição u=y^{3}. Então du=3y^{2}dy ou y^{2}dy=\tfrac{1}{3}du. Os limites: y=0\mapsto u=0, y=\sqrt[3]{\pi}\mapsto u=\pi. Assim
V=\tfrac{1}{3}\int_{0}^{\pi} \sin u\,du = \tfrac{1}{3}\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{\pi} = \tfrac{1}{3}\bigl(-\cos\pi + \cos 0\bigr).
  • Como \cos\pi=-1 e \cos 0=1, temos -\cos\pi+\cos0 = -(-1)+1 = 2. Portanto
V=\tfrac{1}{3}\cdot 2 = \tfrac{2}{3}.

Resposta

(a) \;2\pi
(b) \;\dfrac{\pi}{2}
(c) \;\dfrac{e-1}{2}
(d) \;\dfrac{8}{15}
(e) \;\dfrac{2}{3}

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