Um exemplo de oscilador harmônico é um bloco de massa m em um plano horizontal ligado a uma mola de constante elástica k (positiva). A força elástica que a mola exerce no bloco é dada por Fe=-k x, onde x é o deslocamento do bloco a partir do ponto de repouso da mola. Considere que a posição do bloco no instante t=0 é dada por x=0 e que a sua velocidade no mesmo instante de tempo é dada por v=10 m / s.
(a) [1 , 0 pontos ] Usando a segunda lei de Newton, mostre que a equação diferencial que rege o movimento do bloco é dada por
x^prime prime+(km) x=0
(b) [1 , 0 pontos ] Ache a posição do bloco em qualquer instante de tempo, isto é, obtenha a solução da equação acima, considerando as condições iniciais dadas no problema.
(c) [1, 0 pontos ] Suponha que k=2 e que m=2, onde as unidades estão no SI. Esboce um gráfico da posição x do bloco encontrada no item (b) em função do tempo.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m preso a uma mola de constante ele1stica k, com fore7a ele1stica
Fe=-k,x
e pede (a) obter a equae7e3o diferencial do movimento usando a segunda lei de Newton, (b) resolver essa equae7e3o com as condie7f5es iniciais x(0)=0 e v(0)=10,m/s, e (c) especializar para k=2 e m=2 e esboe7ar x(t). Vamos usar conceitos de movimento harmf4nico simples.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton, m,x''=Fresu<ante, e aqui a única força é a elástica,
m,x''=-k,x
Dividindo por m, obtemos
x'' + km,x = 0,
que é a equação do oscilador harmônico.

Passo 3

A solução geral de
x'' + omega^2 x = 0,
com omega=raizk/m, é
x(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)
Usando x(0)=0 A=0. A velocidade é
x'(t)=-A,omegasin(omega t)+B,omegacos(omega t) =B,omegacos(omega t),
logo x'(0)=B,omega=10, ou seja B=10/omega. Assim
x(t)=10omega,sin(omega t) =10raizmk;sin!l(raiztfrackm,tr)

Passo 4

Para k=2 e m=2 temos omega=raiz2/2=1. Ente3o
x(t)=10sin(t)
Esse e9 um seno de amplitude 10,m e peredodo T=2pi,s, comee7ando em x(0)=0 com inclinae7e3o positiva. O gre1fico e9 uma onda senoidal de amplitude 10, cruzando a origem em t=0 e atingindo me1ximo +10,m em t=pi/2.

Resposta

(a) x''+km,x=0.
(b) x(t)=10raizmk;sin!l(raiztfrackm,tr)
(c) Para k=2 e m=2, x(t)=10sin(t), onda senoidal de amplitude 10,m e peredodo 2pi,s.

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