Um exemplo de oscilador harmônico é um bloco de massa
em um plano horizontal ligado a uma mola de constante elástica
(positiva). A força elástica que a mola exerce no bloco é dada por
, onde
é o deslocamento do bloco a partir do ponto de repouso da mola. Considere que a posição do bloco no instante
é dada por
e que a sua velocidade no mesmo instante de tempo é dada por
.
(a)
pontos
Usando a segunda lei de Newton, mostre que a equação diferencial que rege o movimento do bloco é dada por
(b)
pontos
Ache a posição do bloco em qualquer instante de tempo, isto é, obtenha a solução da equação acima, considerando as condições iniciais dadas no problema.
(c)
pontos
Suponha que
e que
, onde as unidades estão no SI. Esboce um gráfico da posição
do bloco encontrada no item (b) em função do tempo.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado descreve um bloco de massa
preso a uma mola de constante ele1stica
, com fore7a ele1stica
e pede (a) obter a equae7e3o diferencial do movimento usando a segunda lei de Newton, (b) resolver essa equae7e3o com as condie7f5es iniciais
e
,m/s, e (c) especializar para
e
e esboe7ar
. Vamos usar conceitos de movimento harmf4nico simples.
Passo 2
Aplicando a segunda lei de Newton,
, e aqui a única força é a elástica,
Dividindo por
, obtemos
que é a equação do oscilador harmônico.
Passo 3
A solução geral de
com
, é
Usando
dá
. A velocidade é
logo
, ou seja
. Assim
Passo 4
Para
e
temos
. Ente3o
Esse e9 um seno de amplitude
,m e peredodo
,s, comee7ando em
com inclinae7e3o positiva. O gre1fico e9 uma onda senoidal de amplitude
, cruzando a origem em
e atingindo me1ximo
,m em
.
Resposta
(a)
.
(b)
(c) Para e
,
, onda senoidal de amplitude
,m e peredodo
,s.
(b)
(c) Para