Questão 1 (2.0 pts.) Dada a integral dupla
I=integralD f d A=integral-1^2 integraly^2-4^y-2 f(x, y) d x d y
(a) Esboce a região D;
(b) Inverta a ordem de integração;

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
I=integralDf,dA=integraly=-1^2integralx=y^2-4^y-2f(x,y),dx,dy
ou seja, a região D é
D=(x,y)mid -1<= y<=2,;y^2-4<= x<= y-2
O conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas e vamos precisar identificar os contornos de D dados pelas curvas
x=y^2-4(parábola)e x=y-2(reta), á
achar suas interseções e depois projetar D no eixo x.

Passo 2

Intersecção das curvas: resolvendo
y^2-4=y-2
vem
y^2-y-2=0;Longrightarrow;y=1pmraiz1+82=-1,,2
Para y=-1 temos x=(-1)^2-4=-3 e para y=2 temos x=4-4=0.
Assim D é a região “entre” a parábola x=y^2-4 e a reta x=y-2, com vértices em (-3,-1) e (0,2).

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo x. O mínimo de x na parábola x=y^2-4 é -4 (em y=0) e o máximo na reta é 0 (em y=2). Logo
-4<= x<=0

Passo 4

Num slice fixo x, as condições de D são
  1. x>= y^2-4iff y^2<= x+4iff -raizx+4<= y<=raizx+4,
  2. x<= y-2iff y>= x+2
    O limite superior de y fica sempre em
ymax=raizx+4
O limite inferior é o maior entre -raizx+4 e x+2. A equação
x+2=-raizx+4
se satisfaz em x=-3.
  • Para -4<= x<=-3 vale x+2<=-raizx+4, então
ymin=-raizx+4
  • Para -3<= x<=0 vale x+2>=-raizx+4, então
ymin=x+2

Resposta

I=integralx=-4^-3l[integraly=-raizx+4^raizx+4f(x,y),dyr]dx ;+; integralx=-3^0l[integraly=x+2^raizx+4f(x,y),dyr]dx

Exercícios relacionados