Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=0^infty 1n+4 x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potência
sumn=0^infty1n+4x^n
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e depois analisar os extremos.

Passo 2

Defina an=1n+4. Pelo teste da razão, consideramos
L=limntoinfty|an+1x^n+1anx^n| =limntoinfty1n+5|x|1n+4 =|x|limntoinftyn+4n+5 =|x|
A série converge se L<1, ou seja, para |x|<1. Logo o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Para |x|>1 temos L>1 e a série diverge imediatamente. Faltam examinar os casos |x|=1.

Passo 4

Se x=1, a série vira
sumn=0^infty1n+4,
que diverge por comparação com a série harmônica.

Passo 5

Se x=-1, a série torna-se
sumn=0^infty(-1)^nn+4
Como tfrac1n+4 é decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz essa série converge (condicionalmente).

Resposta

O raio de convergência é R=1.
O intervalo de convergência é -1<= x<1, com convergência absoluta em |x|<1, divergência em x=1 e convergência condicional em x=-1.

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