Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potência
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e depois analisar os extremos.
Passo 2
Defina . Pelo teste da razão, consideramos
A série converge se L<1, ou seja, para |x|<1. Logo o raio de convergência é
R=1
Passo 3
Para |x|>1 temos L>1 e a série diverge imediatamente. Faltam examinar os casos |x|=1.
Passo 4
Se x=1, a série vira
sumn=0^infty1n+4,
que diverge por comparação com a série harmônica.
Passo 5
Se x=-1, a série torna-se
sumn=0^infty(-1)^nn+4
Como tfrac1n+4 é decrescente e tende a zero, pelo teste de Leibniz essa série converge (condicionalmente).
Resposta
O raio de convergência é R=1.
O intervalo de convergência é -1<= x<1, com convergência absoluta em |x|<1, divergência em x=1 e convergência condicional em x=-1.