Dê um exemplo (que pode ser gráfico) de uma função definida em [a, b] tal que f(a)< 0, mas f não possui raiz em [a, b]. O que se pode afirmar sobre a continuidade desta função?

Passo 1

Nesse problema, queremos um exemplo de função definida em [a,b] tal que f(a)<0< f(b), mas sem raiz em [a,b]. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário de Bolzano, que diz que se f é contínua em [a,b] e f(a)·f(b)<0, então existe c em (a,b) com f©=0.

Passo 2

Uma escolha simples é um salto no meio do intervalo. Por exemplo, defina f:[0,1]→ℝ por
f(x)= -1, & 0<= x

Passo 3

Verificamos que f(0)=-1<0<1=f(1), mas para todo x em [0,1] temos f(x)∈{−1,1}, ou seja, nunca ocorre f(x)=0. Logo não há raiz em [0,1].

Passo 4

Como o Teorema de Bolzano garante raiz sempre que a função é contínua e troca de sinal nas extremidades, o fato de não existir raiz implica que a hipótese de continuidade se rompe. No nosso exemplo a descontinuidade ocorre em x=1/2.

Resposta

A função não é contínua em [a,b]; ela apresenta pelo menos uma descontinuidade (neste exemplo, um salto em x=1/2).

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