Dê um exemplo (que pode ser gráfico) de uma função definida em
tal que
, mas
não possui raiz em
. O que se pode afirmar sobre a continuidade desta função?
Passo 1
Nesse problema, queremos um exemplo de função definida em [a,b] tal que f(a)<0< f(b), mas sem raiz em [a,b]. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário de Bolzano, que diz que se f é contínua em [a,b] e f(a)·f(b)<0, então existe c em (a,b) com f©=0.
Passo 2
Uma escolha simples é um salto no meio do intervalo. Por exemplo, defina f:[0,1]→ℝ por
Passo 3
Verificamos que f(0)=-1<0<1=f(1), mas para todo x em [0,1] temos f(x)∈{−1,1}, ou seja, nunca ocorre f(x)=0. Logo não há raiz em [0,1].
Passo 4
Como o Teorema de Bolzano garante raiz sempre que a função é contínua e troca de sinal nas extremidades, o fato de não existir raiz implica que a hipótese de continuidade se rompe. No nosso exemplo a descontinuidade ocorre em x=1/2.
Resposta
A função não é contínua em [a,b]; ela apresenta pelo menos uma descontinuidade (neste exemplo, um salto em x=1/2).