Dê exemplo de um poliedro em que V-A+F=0, outro em que V-A+F=-2 e outro onde V-A+F=-4.

Passo 1

O enunciado pede três exemplos de poliedros (ou superfícies poliédricas) cujos números de vértices V, arestas A e faces F satisfazem, respectivamente,
  1. V - A + F = 0,
  2. V - A + F = -2,
  3. V - A + F = -4.
    O assunto é o característico de Euler para superfícies fechadas de gênero g.

Passo 2

Para qualquer poliedro cuja superfície seja uma superfície de gênero g (isto é, com g “buracos”), vale a fórmula
V - A + F \;=\;\chi \;=\;2 \;-\;2g.
Aqui g=0 é a esfera (caso convexo usual), g=1 é o toro, g=2 é o duotorus, e assim por diante.

Passo 3

Caso g=1 (toro) temos
\chi \;=\;2 - 2\cdot1 \;=\;0.
Um exemplo concreto de triangulação do toro usa V=7, A=21, F=14, pois
7 \;-\; 21 \;+\; 14 \;=\;0.

Passo 4

Caso g=2 (duotorus) temos
\chi \;=\;2 - 2\cdot2 \;=\;-2.
Podemos tomar uma triangulação de gênero dois com, por exemplo, V=6, A=24, F=16, pois
6 \;-\; 24 \;+\; 16 \;=\;-2.

Passo 5

Caso g=3 (triplotoro) temos
\chi \;=\;2 - 2\cdot3 \;=\;-4.
Uma triangulação de gênero três pode usar V=8, A=36, F=24, pois
8 \;-\; 36 \;+\; 24 \;=\;-4.

Resposta

Exemplo para V - A + F =0: toro triangulado com (V,A,F)=(7,21,14).
Exemplo para V - A + F =-2: duotorus triangulado com (V,A,F)=(6,24,16).
Exemplo para V - A + F =-4: triplotoro triangulado com (V,A,F)=(8,36,24).

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