Desenhe dois polígonos. Um convexo e outro não convexo, de 8 lados. Calcule a soma dos ângulos internos destes polígonos polígono. Você usou alguma expressão matemática em sua resposta? Em que condições ela é válida? Vale para qualquer polígono?

Passo 1

O enunciado pede para desenhar dois polígonos de oito lados: um convexo e outro não convexo, e depois calcular a soma dos ângulos internos de cada um. O conteúdo envolvido é a soma dos ângulos internos de um polígono simples com n lados. Para resolver, vamos usar a expressão conhecida para essa soma e depois verificar seu domínio de validade.

Passo 2

Aqui está uma ilustração em ASCII de um octógono convexo e de um octógono não convexo (com um “entalhe” que gera um ângulo interno maior que 180^\circ):
Convexo (todos os vértices “para fora”):
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Não convexo (um vértice “reentrante”):
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Em ambos os casos temos exatamente oito lados, mas no segundo há um ângulo interno maior que 180^\circ, tornando-o côncavo.

Passo 3

Para qualquer polígono simples (isto é, não autodobrado ou com arestas que se cruzam), convexo ou côncavo, podemos dividir o interior em (n-2) triângulos, traçando diagonais de um mesmo vértice. Cada triângulo tem soma dos ângulos iguais a 180^\circ. Portanto, a soma S dos ângulos internos de um polígono de n lados é
S = (n - 2)\times 180^\circ.

Passo 4

Aplicando para n=8, obtemos
S = (8 - 2)\times 180^\circ = 6\times 180^\circ = 1080^\circ.
Logo, tanto o octógono convexo quanto o côncavo têm soma dos ângulos internos igual a 1080^\circ.

Passo 5

Sim, usamos a expressão
S = (n - 2)\times 180^\circ.
Ela é válida para qualquer polígono simples, isto é, para todo polígono (convexo ou não convexo) cujas arestas não se cruzem. Polígonos que se autodobram ou são estrelados (auto­intersectantes) fogem dessa condição e não seguem diretamente essa fórmula.

Resposta

A soma dos ângulos internos dos dois octógonos (convexo e não convexo) é 1080^\circ. A expressão usada foi S=(n-2)\times180^\circ, válida para qualquer polígono simples de n lados.

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