Desenhe dois polígonos. Um convexo e outro não convexo, de 8 lados. Calcule a soma dos ângulos internos destes polígonos polígono. Você usou alguma expressão matemática em sua resposta? Em que condições ela é válida? Vale para qualquer polígono?
Passo 1
O enunciado pede para desenhar dois polígonos de oito lados: um convexo e outro não convexo, e depois calcular a soma dos ângulos internos de cada um. O conteúdo envolvido é a soma dos ângulos internos de um polígono simples com
lados. Para resolver, vamos usar a expressão conhecida para essa soma e depois verificar seu domínio de validade.
Passo 2
Aqui está uma ilustração em ASCII de um octógono convexo e de um octógono não convexo (com um “entalhe” que gera um ângulo interno maior que
):
Convexo (todos os vértices “para fora”):
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Não convexo (um vértice “reentrante”):
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Em ambos os casos temos exatamente oito lados, mas no segundo há um ângulo interno maior que
, tornando-o côncavo.
Passo 3
Para qualquer polígono simples (isto é, não autodobrado ou com arestas que se cruzam), convexo ou côncavo, podemos dividir o interior em
triângulos, traçando diagonais de um mesmo vértice. Cada triângulo tem soma dos ângulos iguais a
. Portanto, a soma
dos ângulos internos de um polígono de
lados é
Passo 4
Aplicando para
, obtemos
Logo, tanto o octógono convexo quanto o côncavo têm soma dos ângulos internos igual a
.
Passo 5
Sim, usamos a expressão
Ela é válida para qualquer polígono simples, isto é, para todo polígono (convexo ou não convexo) cujas arestas não se cruzem. Polígonos que se autodobram ou são estrelados (autointersectantes) fogem dessa condição e não seguem diretamente essa fórmula.
Resposta
A soma dos ângulos internos dos dois octógonos (convexo e não convexo) é
. A expressão usada foi
, válida para qualquer polígono simples de
lados.