a) Enuncie a relação de Euler;
b) Dê exemplo de um poliedro não convexo que satisfaz a relação de Euler.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a relação de Euler para poliedros e quer também um exemplo de poliedro não convexo que ainda satisfaça essa relação. O conteúdo aqui é topologia de superfícies poliedrais e a fórmula que envolve o número de vértices V, arestas E e faces F.

Passo 2

A relação de Euler para um poliedro cuja superfície é homeomorfa à esfera (caso de todo poliedro convexo e de muitos não convexos sem “buracos”) afirma que
V - E + F = 2.

Passo 3

Construímos um exemplo simples de poliedro não convexo mantendo a topologia de esfera:
  1. Partimos de um cubo, que tem V=8, E=12, F=6.
  2. Escolhemos uma face e marcamos o seu centro como um novo vértice interno a ela.
  3. Ligamos esse novo vértice aos quatro vértices daquela face, subdividindo-a em quatro faces triangulares.
  4. Após essa operação temos:
V = 8+1 = 9,\quad E = 12+4 = 16,\quad F = 6-1+4 = 9.
  1. Como empurramos o centro da face para dentro do cubo, o poliedro ficou concavo, mas sua superfície continua sem buracos.
Verificando a fórmula:
V - E + F = 9 - 16 + 9 = 2.

Resposta

a) A relação de Euler é
V - E + F = 2.
b) Um exemplo é o poliedro obtido a partir de um cubo ao inserir um vértice no centro de uma face e ligá-lo aos quatro vértices dessa face, gerando um poliedro côncavo com V=9, E=16, F=9, que satisfaz V - E + F = 2.

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