a) Enuncie a relação de Euler;
b) Dê exemplo de um poliedro não convexo que satisfaz a relação de Euler.
b) Dê exemplo de um poliedro não convexo que satisfaz a relação de Euler.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a relação de Euler para poliedros e quer também um exemplo de poliedro não convexo que ainda satisfaça essa relação. O conteúdo aqui é topologia de superfícies poliedrais e a fórmula que envolve o número de vértices
, arestas
e faces
.
Passo 2
A relação de Euler para um poliedro cuja superfície é homeomorfa à esfera (caso de todo poliedro convexo e de muitos não convexos sem “buracos”) afirma que
Passo 3
Construímos um exemplo simples de poliedro não convexo mantendo a topologia de esfera:
- Partimos de um cubo, que tem
, , . - Escolhemos uma face e marcamos o seu centro como um novo vértice interno a ela.
- Ligamos esse novo vértice aos quatro vértices daquela face, subdividindo-a em quatro faces triangulares.
- Após essa operação temos:
- Como empurramos o centro da face para dentro do cubo, o poliedro ficou concavo, mas sua superfície continua sem buracos.
Verificando a fórmula:
Resposta
a) A relação de Euler é
b) Um exemplo é o poliedro obtido a partir de um cubo ao inserir um vértice no centro de uma face e ligá-lo aos quatro vértices dessa face, gerando um poliedro côncavo com
,
,
, que satisfaz
.