EXEMPLO 6 Mostre que x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x-6 y+2 z+6=0 é a equação de uma esfera e encontre seu centro e raio.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}+4x-6y+2z+6=0
e pede para mostrarmos que ela representa uma esfera, encontrando seu centro e seu raio. Vamos usar o método de completar quadrados em cada variável, um procedimento típico de geometria analítica.

Passo 2

Agrupamos termos por variável e completamos o quadrado:
x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4,
y^{2}-6y = (y-3)^{2}-9,
z^{2}+2z = (z+1)^{2}-1.
Substituindo essas identidades na equação original, temos
(x+2)^{2}-4 \;+\;(y-3)^{2}-9\;+\;(z+1)^{2}-1\;+\;6 \;=\;0.
Agora somamos as constantes: -4-9-1+6=-8. Assim a equação fica
(x+2)^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2}-8=0
ou equivalentemente
(x+2)^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2}=8.

Passo 3

A última forma já é a forma padrão de uma esfera,
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = r^{2},
onde o centro é (x_{0},y_{0},z_{0}) e o raio é r. Comparando, vemos que
(x+2)^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2}=8
é uma esfera de centro (-2,3,-1) e raio \sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Resposta

Centro: (-2,3,-1)
Raio: 2\sqrt{2}

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