EXEMPLO 6 Mostre que
é a equação de uma esfera e encontre seu centro e raio.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para mostrarmos que ela representa uma esfera, encontrando seu centro e seu raio. Vamos usar o método de completar quadrados em cada variável, um procedimento típico de geometria analítica.
Passo 2
Agrupamos termos por variável e completamos o quadrado:
Substituindo essas identidades na equação original, temos
Agora somamos as constantes:
. Assim a equação fica
ou equivalentemente
Passo 3
A última forma já é a forma padrão de uma esfera,
onde o centro é
e o raio é
. Comparando, vemos que
é uma esfera de centro
e raio
.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: