Dê um exemplo prático de Modelo Estatístico. Como você testaria se seu modelo é razoável na prática? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede que a gente:
  1. dê um exemplo prático de Modelo Estatístico;
  2. explique como testar, na prática, se esse modelo é razoável.
Conteúdo envolvido:
  • Conceito de modelo estatístico (parâmetros, variáveis, hipótese de erro);
  • Regressão linear simples como exemplo;
  • Medidas de qualidade de ajuste e testes de diagnóstico (resíduos, , testes de normalidade e homocedasticidade).
Para resolver precisamos:
  • Saber formular um modelo (ex.: );
  • Conhecer o que é análise de resíduos;
  • Entender o coeficiente de determinação e testes de hipótese simples (Shapiro–Wilk, Breusch–Pagan).

Passo 2

Exemplo de modelo prático: regressão linear simples entre investimento em marketing ( Yi = beta0 + beta1 Xi + varepsiloni, , em mil reais) e vendas ( , em mil unidades).
A gente supõe:
com .
– Aqui é o valor médio de vendas quando , é quanto a venda cresce a cada mil real a mais em marketing, e é o “ruído” normal.

Passo 3

Como testar se o modelo é razoável? Aí entram três etapas principais:
  1. Coeficiente de determinação R^2 ;=; 1 ;-;sumi=1^n (yi - hat yi)^2sumi=1^n (yi - bar y)^2 :
Se for próximo de 1, o modelo explica bem a variabilidade dos dados.
  1. Análise de resíduos:
    a) Gráfico de resíduos versus valores ajustados . A gente espera um “nuvem” sem padrão (resíduos aleatórios).
    b) Q–Q plot dos resíduos para ver se batem com a curva de uma normal.
  2. Testes formais:
    – Teste de normalidade (Shapiro–Wilk): : resíduos vêm de . Se -valor > 0, não rejeitamos .
    – Teste de homocedasticidade (Breusch–Pagan): : variância dos erros é constante. Novamente, um -valor grande indica que variância constante é razoável.

Passo 4

Justificativa:
  • Se for alto (por exemplo, > 0,7) e não houver padrão nos resíduos, o modelo capturou bem a relação.
  • Se os testes (Shapiro–Wilk e Breusch–Pagan) não rejeitam suas hipóteses, a suposição de normalidade e homocedasticidade está ok.
  • Aí a gente considera o modelo “razoável” para prever vendas a partir de investimento em marketing.

Resposta

Um exemplo prático é a regressão linear simples
,
que relaciona investimento em marketing ( ) e vendas ( ).
Para testar se ele é razoável, a gente calcula o , faz gráfico e Q–Q plot dos resíduos e aplica o teste de Shapiro–Wilk (normalidade) e Breusch–Pagan (homocedasticidade). Se for alto e os testes não rejeitarem as suposições, consideramos o modelo válido.

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