Exemplo 1.2 Uma linha automatizada de envase de óleo lubrificante é configurada para preencher frascos com um volume médio de 1.000 ml . O engenheiro de produção sabe, por dados históricos do fabricante da máquina, que o processo opera com uma variância populacional de 400 \mathrm{ml}^{2}. Após uma manutenção preventiva, o engenheiro deseja verificar se a máquina continua calibrada para o volume nominal ou se passou a encher para mais ou para menos. Para tanto, seleciona uma amostra aleatória de 100 frascos obtendo o volume médio de 1.004 ml . Teste a hipótese a nível de 5 \% de significância.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O volume nominal (hipótese nula) é \mu_0 = 1{,}000\\ \text{ml}.
  • A variância populacional conhecida é \sigma^2 = 400\\ \text{ml}^2. Logo o desvio padrão populacional é \sigma = 20\\ \text{ml}.
  • Tamanho da amostra: n = 100.
  • Média amostral obtida: \bar{X} = 1{,}004\\ \text{ml}.
  • Nível de significância: \alpha = 0{,}05.
  • O engenheiro quer verificar se a máquina continua calibrada para o volume nominal ou se passou a encher para mais ou para menos. Isto indica testar se a média é diferente de 1{,}000\\ \text{ml} (teste bilateral).
O que o enunciado pede: realizar o teste de hipótese a nível de 5\% e concluir, em linguagem prática, se há evidência de que a máquina mudou (preenche mais ou menos) ou se continua calibrada.

Passo 2

Escolha do teste e justificativa (com a teoria necessária, explicada devagar).
Quando a variância populacional \sigma^2 é conhecida e a amostra é razoavelmente grande, a distribuição da média amostral \bar{X} é aproximada por uma normal com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Isso vem do Teorema Central do Limite: para n grande, \bar{X} é aproximadamente normal mesmo que a população não seja exatamente normal; aqui n=100 é grande suficiente. Se a população já for normal, então \bar{X} é exatamente normal.
Assim, usa-se o teste Z (teste z) com a estatística
Z \;=\; \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{X} é a média observada na amostra.
  • \mu_0 é a média sob a hipótese nula (o valor que estamos testando).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (conhecido).
  • n é o tamanho da amostra.
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média: quanto, em média, a média amostral varia em torno da média verdadeira.
Sob H_0 (isto é, se \mu=\mu_0), a estatística Z tem, aproximadamente, a distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1). Para um teste bilateral com nível \alpha, a região de rejeição é |Z|>z_{1-\alpha/2}, onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão. Para \alpha=0{,}05, temos z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}\approx 1{,}96.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média (passo a passo numérico).
A fórmula do erro padrão é
\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Substituindo os valores dados:
\text{SE} = \frac{20}{\sqrt{100}} = \frac{20}{10} = 2\\ \text{ml}.
Interpretação: se a máquina estivesse calibrada em \mu_0, esperaríamos que a média de amostras de 100 frascos oscilasse tipicamente cerca de 2\\ \text{ml} para mais ou para menos em torno de \mu_0.

Passo 4

Calcular a estatística de teste Z (mostrando as contas).
A estatística é
Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\text{SE}} = \frac{1{,}004 - 1{,}000}{2}.
Fazendo a subtração e a divisão:
Z = \frac{4}{2} = 2.
Portanto a estatística observada vale Z_{\text{obs}} = 2.

Passo 5

Determinar a região crítica e tomar a decisão (passo a passo).
Para um teste bilateral com \alpha=0{,}05, o valor crítico é z_{0{,}975}\approx 1{,}96. A regra de decisão:
  • Rejeitar H_0 se |Z_{\text{obs}}| > 1{,}96.
  • Não rejeitar H_0 se |Z_{\text{obs}}| \le 1{,}96.
Aqui |Z_{\text{obs}}| = 2 e 2 > 1{,}96. Logo estamos na região de rejeição de H_0.
Portanto, ao nível de 5\%, rejeitamos a hipótese nula de que a média é 1{,}000\\ \text{ml}.

Passo 6

Cálculo do valor-p (para entendimento adicional e verificação).
O valor-p para teste bilateral é
\text{p-valor} = 2\big(1-\Phi(|Z_{\text{obs}}|)\big),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando |Z_{\text{obs}}|=2 e a tabela/valores conhecidos,
\Phi(2)\approx 0{,}97725.
Logo
\text{p-valor} \approx 2\big(1-0{,}97725\big) = 2\cdot 0{,}02275 = 0{,}0455.
Como \text{p-valor}\approx 0{,}0455 < \alpha=0{,}05, isso confirma a decisão de rejeitar H_0.

Passo 7

Interpretação prática e conclusão com linguagem amigável.
  • Resultado estatístico: rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Há evidência estatística de que a média de enchimento mudou em relação a 1{,}000\\ \text{ml}.
  • Direção do efeito: a média amostral é \bar{X}=1{,}004\\ \text{ml}, que é maior que 1{,}000\\ \text{ml}. Portanto a evidência indica que, após a manutenção, a máquina passou a encher um pouco a mais (em média cerca de 4\\ \text{ml}).
  • Magnitude prática: embora estatisticamente significativa, o desvio observado ( 4\\ \text{ml} = 0{,}4\% do nominal) pode ou não ser relevante do ponto de vista operacional/qualidade — isso depende da tolerância aceitável pela produção. Recomendo ao engenheiro avaliar se +4\\ \text{ml} é aceitável ou se precisa recalibrar a máquina.
  • Observação de confiança: o p-valor está bem próximo de 0{,}05 ( 0{,}0455), então o resultado é significativo, mas não por uma margem grande; decisões práticas devem considerar custo/benefício de recalibrar.
Força aí — você fez certo ao testar; a estatística mostrou mudança pequena mas detectável. Se quiser, eu te mostro como calcular um intervalo de confiança para a média (para ver uma faixa plausível para o volume) ou como transformar essa decisão em critérios de controle de qualidade.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%. Há evidência estatística de que a máquina mudou; a média amostral é 1{,}004\\ \text{ml}, indicando que ela passou a encher ligeiramente mais.

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