Exemplo 1.2 Uma linha automatizada de envase de óleo lubrificante é configurada para preencher frascos com um volume médio de 1.000 ml . O engenheiro de produção sabe, por dados históricos do fabricante da máquina, que o processo opera com uma variância populacional de
. Após uma manutenção preventiva, o engenheiro deseja verificar se a máquina continua calibrada para o volume nominal ou se passou a encher para mais ou para menos. Para tanto, seleciona uma amostra aleatória de 100 frascos obtendo o volume médio de 1.004 ml . Teste a hipótese a nível de
de significância.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O volume nominal (hipótese nula) é
. - A variância populacional conhecida é
. Logo o desvio padrão populacional é . - Tamanho da amostra:
. - Média amostral obtida:
. - Nível de significância:
. - O engenheiro quer verificar se a máquina continua calibrada para o volume nominal ou se passou a encher para mais ou para menos. Isto indica testar se a média é diferente de
(teste bilateral).
O que o enunciado pede: realizar o teste de hipótese a nível de
e concluir, em linguagem prática, se há evidência de que a máquina mudou (preenche mais ou menos) ou se continua calibrada.
Passo 2
Escolha do teste e justificativa (com a teoria necessária, explicada devagar).
Quando a variância populacional
é conhecida e a amostra é razoavelmente grande, a distribuição da média amostral
é aproximada por uma normal com média
e desvio padrão
. Isso vem do Teorema Central do Limite: para
grande,
é aproximadamente normal mesmo que a população não seja exatamente normal; aqui
é grande suficiente. Se a população já for normal, então
é exatamente normal.
Assim, usa-se o teste
(teste z) com a estatística
Explicando cada símbolo:
-
é a média observada na amostra. -
é a média sob a hipótese nula (o valor que estamos testando). -
é o desvio padrão populacional (conhecido). -
é o tamanho da amostra. -
é o erro padrão da média: quanto, em média, a média amostral varia em torno da média verdadeira.
Sob
(isto é, se
), a estatística
tem, aproximadamente, a distribuição normal padrão
. Para um teste bilateral com nível
, a região de rejeição é
, onde
é o quantil da normal padrão. Para
, temos
.
Passo 3
Calcular o erro padrão da média (passo a passo numérico).
A fórmula do erro padrão é
Substituindo os valores dados:
Interpretação: se a máquina estivesse calibrada em
, esperaríamos que a média de amostras de
frascos oscilasse tipicamente cerca de
para mais ou para menos em torno de
.
Passo 4
Calcular a estatística de teste
(mostrando as contas).
A estatística é
Fazendo a subtração e a divisão:
Portanto a estatística observada vale
.
Passo 5
Determinar a região crítica e tomar a decisão (passo a passo).
Para um teste bilateral com
, o valor crítico é
. A regra de decisão:
- Rejeitar
se . - Não rejeitar
se .
Aqui
e
. Logo estamos na região de rejeição de
.
Portanto, ao nível de
, rejeitamos a hipótese nula de que a média é
.
Passo 6
Cálculo do valor-p (para entendimento adicional e verificação).
O valor-p para teste bilateral é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando
e a tabela/valores conhecidos,
Logo
Como
, isso confirma a decisão de rejeitar
.
Passo 7
Interpretação prática e conclusão com linguagem amigável.
- Resultado estatístico: rejeitamos
ao nível de . Há evidência estatística de que a média de enchimento mudou em relação a . - Direção do efeito: a média amostral é
, que é maior que . Portanto a evidência indica que, após a manutenção, a máquina passou a encher um pouco a mais (em média cerca de ). - Magnitude prática: embora estatisticamente significativa, o desvio observado (
= do nominal) pode ou não ser relevante do ponto de vista operacional/qualidade — isso depende da tolerância aceitável pela produção. Recomendo ao engenheiro avaliar se é aceitável ou se precisa recalibrar a máquina. - Observação de confiança: o p-valor está bem próximo de
( ), então o resultado é significativo, mas não por uma margem grande; decisões práticas devem considerar custo/benefício de recalibrar.
Força aí — você fez certo ao testar; a estatística mostrou mudança pequena mas detectável. Se quiser, eu te mostro como calcular um intervalo de confiança para a média (para ver uma faixa plausível para o volume) ou como transformar essa decisão em critérios de controle de qualidade.
Resposta
Rejeita-se
ao nível de
. Há evidência estatística de que a máquina mudou; a média amostral é
, indicando que ela passou a encher ligeiramente mais.