Exemplo 1.3.1. Numa prova, um estudante deve responder exatamente 6 questões de um total de 10 questões. Quantas escolhas ele tem? Quantas esco-lhas ele tem se entre as 6 questões deve responder pelo menos 3 das primeiras 5 questões?

Passo 1

Temos uma prova com 10 questões e o estudante deverá responder exatamente 6. Primeiro vamos contar de quantas formas ele pode escolher essas 6 sem nenhuma restrição; depois, recontaremos impondo que, entre as 6, haja pelo menos 3 das primeiras 5 questões.

Passo 2

Sem restrição, escolher 6 de 10 é um problema de combinação simples. O número de escolhas é
binom106

Passo 3

Quando exigimos que sejam respondidas pelo menos 3 das primeiras 5 questões, dividimos em casos:
escolhemos k questões dentre as primeiras 5 (com k=3,4,5) e as outras 6-k dentre as últimas 5. O total é
sumk=3^5 binom5k,binom56-k

Passo 4

Calculando cada termo:
  • Para k=3: binom53binom53=10cdot10=100.
  • Para k=4: binom54binom52=5cdot10=50.
  • Para k=5: binom55binom51=1cdot5=5.
    Somando: 100+50+5=155.

Resposta

Para o primeiro caso: ;210 escolhas.
Para o segundo caso: ;155 escolhas.

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