Exemplo 1.3.1. Numa prova, um estudante deve responder exatamente 6 questões de um total de 10 questões. Quantas escolhas ele tem? Quantas esco-lhas ele tem se entre as 6 questões deve responder pelo menos 3 das primeiras 5 questões?
Passo 1
Temos uma prova com
questões e o estudante deverá responder exatamente
. Primeiro vamos contar de quantas formas ele pode escolher essas
sem nenhuma restrição; depois, recontaremos impondo que, entre as
, haja pelo menos
das primeiras
questões.
Passo 2
Sem restrição, escolher
de
é um problema de combinação simples. O número de escolhas é
Passo 3
Quando exigimos que sejam respondidas pelo menos
das primeiras
questões, dividimos em casos:
escolhemos questões dentre as primeiras
(com
) e as outras
dentre as últimas
. O total é
escolhemos
Passo 4
Calculando cada termo:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Somando:.
Resposta
Para o primeiro caso:
escolhas.
Para o segundo caso: escolhas.
Para o segundo caso: