Exercício 1.3.4. Numa primeira fase de um campeonato de xadrez cada jogador jogou uma única vez contra cada um dos demais. Foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?
Passo 1
O enunciado diz que em um campeonato de xadrez com
jogadores, cada um enfrentou todos os outros exatamente uma vez, totalizando 78 jogos. O conteúdo é combinação (contagem de pares) e resolução de equação quadrática. Vamos usar que o número de jogos é o número de pares de jogadores, isto é
.
Passo 2
Sejam
o número de jogadores. Cada jogo corresponde a um par de jogadores distintos, e o número de pares é
Como foram 78 jogos, igualamos:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador, obtemos
e, desenvolvendo, chega-se à equação quadrática
Passo 4
Para resolver
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
As raízes são
Isso gera
ou
.
Passo 5
Como
é número de jogadores, deve ser inteiro positivo. Descartamos
e ficamos com
Resposta
O campeonato tinha 13 jogadores.