Exercício 1.3.4. Numa primeira fase de um campeonato de xadrez cada jogador jogou uma única vez contra cada um dos demais. Foram realizados 78 jogos. Quantos eram os jogadores?

Passo 1

O enunciado diz que em um campeonato de xadrez com n jogadores, cada um enfrentou todos os outros exatamente uma vez, totalizando 78 jogos. O conteúdo é combinação (contagem de pares) e resolução de equação quadrática. Vamos usar que o número de jogos é o número de pares de jogadores, isto é binomn2.

Passo 2

Sejam n o número de jogadores. Cada jogo corresponde a um par de jogadores distintos, e o número de pares é
binomn2 ;=;n(n-1)2
Como foram 78 jogos, igualamos:
n(n-1)2 = 78

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador, obtemos
n(n-1) = 156
e, desenvolvendo, chega-se à equação quadrática
n^2 - n - 156 = 0

Passo 4

Para resolver n^2 - n - 156 = 0 usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot(-156) = 1 + 624 = 625
As raízes são
n = 1 pm raiz6252 = 1 pm 252
Isso gera n = 1+252 = 13 ou n = 1-252 = -12.

Passo 5

Como n é número de jogadores, deve ser inteiro positivo. Descartamos -12 e ficamos com
n = 13

Resposta

O campeonato tinha 13 jogadores.

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