Exercício 1.3.5. Quantos números de 6 algarismos podemos formar com 3 pares distintos de algarismos iguais?

Passo 1

O problema pede a quantidade de números de seis algarismos (primeiro dígito não pode ser zero) que usam exatamente três dígitos distintos, cada um aparecendo duas vezes. Vamos tratar via contagem de escolhas de dígitos e permutações de um multiconjunto, cuidando do caso em que zero esteja entre os dígitos.

Passo 2

Caso 1: zero não é um dos dígitos.
Escolhemos 3 dígitos em 1,2,dots,9 de binom93 formas. Cada escolha gera permutações de um multiconjunto com três pares iguais, cujo total é
6!2!,2!,2! = 90
Como nenhum dígito é zero, não há restrição no primeiro algarismo. Logo
N1 = binom93times 90 = 84times 90 = 7560

Passo 3

Caso 2: zero é um dos dígitos.
Escolhemos os outros dois dígitos em 1,2,dots,9 de binom92=36 formas. Novamente há 90 permutações sem restrição, mas devemos excluir aquelas com zero na primeira posição. Se fixamos um zero em primeiro lugar, restam 5 posições para permutar um zero, dois dígitos A e dois dígitos B, totalizando
5!1!,2!,2! = 30
arranjos inválidos. Assim cada escolha gera 90-30=60 números válidos e
N2 = 36times 60 = 2160

Passo 4

Somando os dois casos, obtemos
N = N1 + N2 = 7560 + 2160 = 9720

Resposta

9720

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