Exercício 1.3.5. Quantos números de 6 algarismos podemos formar com 3 pares distintos de algarismos iguais?
Passo 1
O problema pede a quantidade de números de seis algarismos (primeiro dígito não pode ser zero) que usam exatamente três dígitos distintos, cada um aparecendo duas vezes. Vamos tratar via contagem de escolhas de dígitos e permutações de um multiconjunto, cuidando do caso em que zero esteja entre os dígitos.
Passo 2
Caso 1: zero não é um dos dígitos.
Escolhemos 3 dígitos em de
formas. Cada escolha gera permutações de um multiconjunto com três pares iguais, cujo total é
Escolhemos 3 dígitos em
Como nenhum dígito é zero, não há restrição no primeiro algarismo. Logo
Passo 3
Caso 2: zero é um dos dígitos.
Escolhemos os outros dois dígitos em de
formas. Novamente há 90 permutações sem restrição, mas devemos excluir aquelas com zero na primeira posição. Se fixamos um zero em primeiro lugar, restam 5 posições para permutar um zero, dois dígitos A e dois dígitos B, totalizando
Escolhemos os outros dois dígitos em
arranjos inválidos. Assim cada escolha gera
números válidos e
Passo 4
Somando os dois casos, obtemos