Exercício 1.5.2. Um dos departamentos de polícia de um vilarejo é formado por 10 policiais. Se a política do departamento é a de possuir 5 dos policiais patrulhando as ruas, 2 deles trabalhando todo o tempo na delegacia e 3 deles de reserva, quantas divisões diferentes dos 10 policiais nos três grupos são possíveis?
Passo 1
O enunciado pede para dividir 10 policiais em três grupos sem ordem dentro de cada grupo: 5 na patrulha, 2 na delegacia e 3 de reserva. O conteúdo usado aqui é contagem de partições de conjuntos por tamanhos fixos, que se resolve com coeficientes multinomiais ou produto de combinações.
Passo 2
Primeiro escolhemos quais
policiais vão para a patrulha. Como a ordem não importa, o número de maneiras é
Passo 3
Dos
policiais restantes, escolhemos
para trabalhar na delegacia. Isso pode ser feito de
maneiras.
Passo 4
Os
policiais que restam formam automaticamente o grupo de reserva, e há
maneira de atribuí-los (todos vão para reserva).
Passo 5
Pela regra do produto, multiplicamos as escolhas independentes:
Alternativamente, isso equivale ao coeficiente multinomial
Resposta
2520