Exercício 1.5.2. Um dos departamentos de polícia de um vilarejo é formado por 10 policiais. Se a política do departamento é a de possuir 5 dos policiais patrulhando as ruas, 2 deles trabalhando todo o tempo na delegacia e 3 deles de reserva, quantas divisões diferentes dos 10 policiais nos três grupos são possíveis?

Passo 1

O enunciado pede para dividir 10 policiais em três grupos sem ordem dentro de cada grupo: 5 na patrulha, 2 na delegacia e 3 de reserva. O conteúdo usado aqui é contagem de partições de conjuntos por tamanhos fixos, que se resolve com coeficientes multinomiais ou produto de combinações.

Passo 2

Primeiro escolhemos quais 5 policiais vão para a patrulha. Como a ordem não importa, o número de maneiras é
binom105 = 10!5!,5!

Passo 3

Dos 10-5=5 policiais restantes, escolhemos 2 para trabalhar na delegacia. Isso pode ser feito de
binom52 = 5!2!,3!
maneiras.

Passo 4

Os 5-2=3 policiais que restam formam automaticamente o grupo de reserva, e há
binom33 = 1
maneira de atribuí-los (todos vão para reserva).

Passo 5

Pela regra do produto, multiplicamos as escolhas independentes:
binom105times binom52times binom33 = 252 times 10 times 1 = 2520
Alternativamente, isso equivale ao coeficiente multinomial
10!5!,2!,3! = 2520

Resposta

2520

Exercícios relacionados