Exemplo 1.4.4. Quantos são os números inteiros positivos menores que 720 e primos com 720?

Passo 1

O enunciado pede quantos inteiros positivos menores que 720 são primos com 720, isto é, quantos k em 1,2,dots,719 satisfazem gcd(k,720)=1. O conteúdo é a função totiente de Euler varphi(n), que conta exatamente esses inteiros.

Passo 2

Primeiro, fatoramos 720 em fatores primos.
720 = 2^4 times 3^2 times 5^1

Passo 3

A fórmula da função totiente para
n = p1^a1 p2^a2cdots pr^ar
é
varphi(n) = n prodi=1^r l(1 - tfrac1pir)

Passo 4

Aplicando em n=720 com p1=2, p2=3, p3=5, temos
varphi(720) = 720l(1-tfrac12r)l(1-tfrac13r)l(1-tfrac15r) = 720 times tfrac12 times tfrac23 times tfrac45
Calculando,
720times tfrac12 = 360, 360times tfrac23 = 240, 240times tfrac45 = 192

Resposta

O número de inteiros positivos menores que 720 e primos com 720 é 192.

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