Exercício 1.4.2. Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as questões, calcule o número de alunos que não acertaram todas as 3 questões.

Passo 1

O enunciado fala de 36 alunos que fizeram 3 questões. Vamos chamar de A, B e C os conjuntos dos alunos que acertaram a 1ª, 2ª e 3ª questão, respectivamente. Precisamos achar quantos alunos não acertaram todas as três questões, ou seja, 36 - |Acap Bcap C|. Para isso, usaremos o Princípio da Inclusão-Exclusão e a contagem de categorias disjuntas.

Passo 2

Dos dados temos o número de alunos que acertaram uma questão:
5 só em A, 6 só em B, 7 só em C.
Também temos os totais de interseção dupla (podendo incluir quem acertou as três):
|Acap B|=9,|Acap C|=10,|Bcap C|=7,
e ainda quem errou todas: |(Acup Bcup C)^c|=4.
Seja x = |Acap Bcap C| o número de alunos que acertaram as três.

Passo 3

As categorias disjuntas (que somam 36) são:
A, só B, só C, exatamente Acap B (isto é, Acap B menos o triplo), exatamente Acap C, exatamente Bcap C, o triplo e nenhum.
Em fórmulas:
5 + 6 + 7 + (9 - x) + (10 - x) + (7 - x) + x + 4 = 36

Passo 4

Somando as constantes:
5 + 6 + 7 + 9 + 10 + 7 + 4 = 48,
logo a equação fica
48 - 2x = 36 Longrightarrow 2x = 12 Longrightarrow x = 6

Passo 5

Portanto 6 alunos acertaram todas as três questões. Como o total é 36, o número de alunos que não acertaram todas as três é
36 - 6 = 30

Resposta

30

Exercícios relacionados