Exercício 1.4.2. Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as questões, calcule o número de alunos que não acertaram todas as 3 questões.
Passo 1
O enunciado fala de 36 alunos que fizeram 3 questões. Vamos chamar de
,
e
os conjuntos dos alunos que acertaram a 1ª, 2ª e 3ª questão, respectivamente. Precisamos achar quantos alunos não acertaram todas as três questões, ou seja,
. Para isso, usaremos o Princípio da Inclusão-Exclusão e a contagem de categorias disjuntas.
Passo 2
Dos dados temos o número de alunos que acertaram só uma questão:
5 só em
, 6 só em
, 7 só em
.
Também temos os totais de interseção dupla (podendo incluir quem acertou as três):
,
e ainda quem errou todas: .
Seja o número de alunos que acertaram as três.
Também temos os totais de interseção dupla (podendo incluir quem acertou as três):
e ainda quem errou todas:
Seja
Passo 3
As categorias disjuntas (que somam 36) são:
só
, só
, só
, exatamente
(isto é,
menos o triplo), exatamente
, exatamente
, o triplo e nenhum.
Em fórmulas:
Em fórmulas:
Passo 4
Somando as constantes:
logo a equação fica
Passo 5
Portanto
alunos acertaram todas as três questões. Como o total é
, o número de alunos que não acertaram todas as três é
Resposta
30