Exemplo 1.4.5. De todos os animais que vivem em um determinado zoológico verificou-se que:
  • 41 % são carnívoros;
  • 51 % são mamíferos;
  • 36 % vivem em grupo;
  • 7 % são mamíferos e carnívoros, mas não vivem em grupo;
  • 5 % são carnívoros e vivem em grupo, mas não são mamíferos; e,
  • 8 % são mamíferos e vivem em grupo, mas não são carnívoros.
Sabendo que apenas 12 animais são mamíferos, carnívoros e vivem em grupo, calcule o número de animais desse zoológico que vivem em grupo mas não são carnívoros.

Passo 1

Vamos chamar de C o conjunto de animais carnívoros, de M o de mamíferos e de G o de animais que vivem em grupo. O enunciado dá as seguintes porcentagens:
,P(C)=41%,;P(M)=51%,;P(G)=36%,
,P(Mcap Ccap G^c)=7%,
,P(Ccap Gcap M^c)=5%,
,P(Mcap Gcap C^c)=8%,
e ainda sabemos que P(Mcap Ccap G) corresponde a 12 animais. Queremos o número de animais em G que não são em C, ou seja Gcap C^c.

Passo 2

Denotemos por p = P(Mcap Ccap G). Então
P(Mcap C)=7%+p, P(Ccap G)=5%+p, P(Mcap G)=8%+p
Assumindo que todo animal pertence a pelo menos um dos três conjuntos (união de M, C e G é 100 %), aplicamos a fórmula de inclusão–exclusão:
100% = P(M)+P(C)+P(G) - l[P(Mcap C)+P(Mcap G)+P(Ccap G)r] + P(Mcap Ccap G)

Passo 3

Substituindo os valores temos
100 = 51+41+36 - l[(7+p)+(8+p)+(5+p)r] + p =128 - (20+3p) + p =128 -20 -2p =108 -2p
Logo 108-2p=100 implica 2p=8 e portanto
p = 4%

Passo 4

Sabendo que P(Mcap Ccap G)=p=4% corresponde a 12 animais, se N é o total de animais,
0,04,N = 12 Longrightarrow N = 120,04 = 300

Passo 5

Queremos o número de animais em G que não são carnívoros:
P(Gcap C^c) = P(G) - P(Ccap G) = 36% - (5%+4%) = 36% - 9% = 27%
Em termos de quantidade,
0,27 times 300 = 81

Resposta

81 animais.

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