(Exemplo de questão de prova) O ácido clorídrico (\mathrm{HCl}) é um ácido forte que se dissocia totalmente, reduzindo o pH da solução para valores menores que 7. Porém, quando soluções muito diluídas desse ácido são adicionadas em água, o cálculo do pH também leva em consideração a autoionização da água. Pergunta-se:
a) Em um balão volumétrico de 1,0 \mathrm{~L} preparou-se uma solução de HCl adicionando-se 1,0 \mathrm{~mL} de uma solução diluída de \mathrm{HCl} 1,2 \times 10^{-5} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} seguido do ajuste do menisco com água destilada. Qual a concentração da solução preparada?
b) Qual o pH dessa solução?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados são fornecidos.
  • Perguntas:
    • (a) Qual a concentração da solução preparada no balão volumétrico de 1{,}0\\ \mathrm{L} depois de adicionar 1{,}0\\ \mathrm{mL} da solução de HCl?
    • (b) Qual o pH dessa solução, levando em conta a autoionização da água quando necessário?
  • Dados fornecidos:
    • Concentração da solução de HCl adicionada: \,1{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
    • Volume da alíquota de HCl adicionada: \,1{,}0\\ \mathrm{mL}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{L}.
    • Volume final do balão volumétrico: \,1{,}0\\ \mathrm{L}.
    • O ácido HCl é forte e dissocia-se totalmente (cada mol de HCl fornece 1 mol de \mathrm{H^+}).
    • Constante de ionização da água (à 25^\circ\mathrm{C}): \,K_w=1{,}0\times10^{-14}\\ \mathrm{(mol^2\\ L^{-2})}.

Passo 2

Calcular a quantidade de matéria (número de mols) de HCl adicionada e obter a concentração final por diluição.
  • A quantidade de mols de HCl adicionada é dada por: multiplicar a concentração da solução original pelo volume adicionado.
    n = \left(1{,}2\times10^{-5}\right)\cdot\left(1{,}0\times10^{-3}\right)\\ \mathrm{mol}.
    Vamos calcular passo a passo:
    n = 1{,}2\times10^{-5}\times1{,}0\times10^{-3}=1{,}2\times10^{-8}\\ \mathrm{mol}.
  • Como todo esse ácido ficou no balão de 1{,}0\\ \mathrm{L}, a concentração final c em mol·L ^{-1} é:
    c=\frac{n}{V_{\text{final}}}=\frac{1{,}2\times10^{-8}}{1{,}0}=1{,}2\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.

Passo 3

Interpretação qualitativa antes de calcular o pH: posso usar simplesmente \mathrm{pH}=-\log[H^+] com [H^+]=c ? Verificação rápida.
  • Se eu ignorasse a autoionização da água e tomasse [H^+]=c, teria \mathrm{pH}_{\text{aprox}}=-\log\left(1{,}2\times10^{-8}\right)\approx7{,}92,o que daria uma solução alcalina (pH maior que 7), o que é impossível para uma solução que contém um ácido forte em excesso (mesmo que muito diluído). Isso mostra que a contribuição do próprio equilíbrio água ⇌ \mathrm{H^+}+\mathrm{OH^-} é importante quando c é da ordem de 10^{-7} ou menor. Portanto é obrigatório incluir a autoionização da água no cálculo.

Passo 4

Montar o modelo matemático que leva em conta a autoionização da água e a contribuição do ácido forte.
  • Denotemos por c a concentração do ácido (já calculada) e por h a concentração total de \mathrm{H^+} na solução.
  • O HCl é totalmente dissociado, então ele contribui com [H^+]=c.
  • A água se autoioniza, contribuindo com uma quantidade adicional de [H^+] que chamaremos de y. Assim: h = c + y.
  • A mesma autoionização gera \mathrm{OH^-} em concentração [OH^-]=y (assumindo que não há outras fontes significativas de \mathrm{OH^-}).
  • O equilíbrio da água impõe: [H^+][OH^-]=K_w \quad\Longrightarrow\quad h\cdot y = K_w.
  • Substituindo y=h-c obtemos a equação para h: h(h-c)=K_w.Desenvolvendo: h^2 - c\,h - K_w = 0.Essa é uma equação quadrática em h.

Passo 5

Resolver a quadrática para h=[H^+] e escolher a raiz fisicamente adequada.
  • A solução positiva da quadrática \,h^2 - c h - K_w = 0 é dada pela fórmula quadrática: h=\frac{c + \sqrt{c^2 + 4K_w}}{2}.(A outra raiz seria negativa e fisicamente impossível para uma concentração.)

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular [H^+] e o pH, mostrando as contas com precisão.
  • Usando c=1{,}2\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}} e K_w=1{,}0\times10^{-14}: c^2=(1{,}2\times10^{-8})^2=1{,}44\times10^{-16},
4K_w=4{,}0\times10^{-14},
c^2+4K_w=1{,}44\times10^{-16}+4{,}0\times10^{-14}=4{,}000144\times10^{-14}.
  • Raiz quadrada:
    \sqrt{c^2+4K_w}=\sqrt{4{,}000144\times10^{-14}}=2{,}000036\times10^{-7}.
  • Agora:
    h=\frac{1{,}2\times10^{-8}+2{,}000036\times10^{-7}}{2} =\frac{2{,}120036\times10^{-7}}{2}=1{,}060018\times10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • Finalmente o pH é:
    \mathrm{pH}=-\log\left(1{,}060018\times10^{-7}\right).
    Calculando o log:
    \mathrm{pH}\approx6{,}974.
  • Interpretação curta: o pH ficou ligeiramente ácido (menor que 7), como esperado, mas muito próximo de neutro porque a quantidade de ácido era extremamente pequena; a maior parte dos \mathrm{H^+} vem da autoionização da água aumentada pelo ácido.

Resposta

c=1{,}2\times10^{-8}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
\mathrm{pH}\approx6{,}974

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