(Exemplo de questão de prova) O ácido fluorídrico é popularmente conhecido por sua utilização em produtos de limpeza industrial e no tratamento de superfícies metálicas. Nessa finalidade, preparou-se uma solução 0,01 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} de HF. Considerando essa solução aquosa, determine:
a) As equações das reações de equilíbrio e suas respectivas constantes.
b) As expressões do balanço de massa e do balanço de carga.
c) O valor de pH utilizado na solução de limpeza.
Dados: ácido fluorídrico (HF) Ka =6,7 \times 10^{-4}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver nada ainda).
  • O enunciado pede:
    • (a) as equações das reações de equilíbrio relevantes e as constantes de equilíbrio correspondentes;
    • (b) as expressões do balanço de massa e do balanço de carga para a solução;
    • (c) o valor do pH da solução de limpeza preparada com concentração 0,01\\ \mathrm{mol/L} de HF.
  • Dados fornecidos:
    • concentração inicial do ácido: C_0 = 0,01\\ \mathrm{mol/L} (essa é a concentração inicial de HF antes de qualquer dissociação);
    • constante de acidez do HF: K_a = 6,7\times10^{-4}.
  • Informação física necessária que usamos (condição padrão, temperatura 25^\circ\mathrm{C}):
    • constante de autoionização da água: K_w = 1,0\times10^{-14} (usada quando precisar relacionar [\mathrm{H^+}] e [\mathrm{OH^-}]).

Passo 2

(a) Escrever as equações de equilíbrio e as constantes — explicando o que significam.
  • Reação de dissociação do ácido fluorídrico:
\mathrm{HF} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{F^-}
  • Aqui \mathrm{HF} é o ácido fraco que pode liberar um próton \mathrm{H^+} formando o ânion \mathrm{F^-}.
  • A constante de acidez para essa reação é definida por:
K_a = \dfrac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{F^-}]}{[\mathrm{HF}]}
  • Numericamente: K_a = 6,7\times10^{-4}.
  • Equilíbrio de autoionização da água (sempre presente em solução aquosa):
\mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{OH^-}
  • Constante:
K_w = [\mathrm{H^+}][\mathrm{OH^-}] = 1,0\times10^{-14}.
Comentário didático rápido sobre constantes: K_a mede “a força” do ácido — valores menores que 1 indicam ácido fraco; a expressão de K_a relaciona as concentrações no equilíbrio. K_w é importante caso a concentração de [\mathrm{H^+}] seja tão baixa que a contribuição de \mathrm{H_2O} se torne relevante (aqui veremos que não é o caso, mas devemos listar).

Passo 3

(b) Escrever as expressões do balanço de massa e do balanço de carga — explicar cada termo.
  • Balanço de massa para o fluoreto (átomo F): a quantidade total de espécies que contêm F é a concentração inicial de HF, e no equilíbrio isso fica distribuído entre \mathrm{HF} não dissociado e \mathrm{F^-} dissociado. Assim:
C_0 = [\mathrm{HF}] + [\mathrm{F^-}],
onde C_0 = 0,01\\ \mathrm{mol/L} é a concentração total inicial de HF.
  • Balanço de carga (condição de eletro-neutralidade da solução): a soma das cargas positivas deve igualar a soma das cargas negativas. Tomando as espécies relevantes (assumimos que não há outros sais/íons na solução):
[\mathrm{H^+}] = [\mathrm{F^-}] + [\mathrm{OH^-}].
Explicando: [\mathrm{H^+}] representa a soma das cargas positivas (apenas prótons relevantes), e do lado negativo temos \mathrm{F^-} e \mathrm{OH^-}. Essa equação é muito útil para checar consistência e, em alguns casos, para resolver sistemas quando há várias espécies.

Passo 4

Montar o sistema de equações que permite encontrar [\mathrm{H^+}]. Vou explicar o raciocínio passo a passo, substituindo variáveis até obter uma equação única para [\mathrm{H^+}].
Defino x=[\mathrm{H^+}] no equilíbrio (objetivo final: calcular x e daí o pH). Pela reação do ácido, se dissociam x mol/L de \mathrm{H^+} provenientes do HF? Cuidado: parte de [\mathrm{H^+}] pode vir da água; para soluções ácidas razoáveis (como essa) a maior parte vem do ácido. Uma forma algébrica segura é expressar [\mathrm{F^-}] em função de x usando o balanço de carga e [\mathrm{OH^-}] = K_w / x (da relação K_w=[\mathrm{H^+}][\mathrm{OH^-}]). Assim:
[\mathrm{F^-}] = x - [\mathrm{OH^-}] = x - \dfrac{K_w}{x}.
Também, do balanço de massa:
[\mathrm{HF}] = C_0 - [\mathrm{F^-}] = C_0 - \left(x - \dfrac{K_w}{x}\right) = C_0 - x + \dfrac{K_w}{x}.
Agora aplicamos a expressão de K_a:
K_a = \dfrac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{F^-}]}{[\mathrm{HF}]} = \dfrac{x\left(x - \dfrac{K_w}{x}\right)}{C_0 - x + \dfrac{K_w}{x}}.
Essa expressão é exata (não faz aproximações). Entretanto, normalmente K_w é muito pequeno e a contribuição de \dfrac{K_w}{x} é desprezível sempre que x não é extremamente pequeno (por exemplo, [\mathrm{H^+}]\gg10^{-7}). Vamos checar se dá para simplificar: esperamos solução ácida com x da ordem de 10^{-3} (pois ácido fraco moderado em 0,01 M), então \dfrac{K_w}{x}\sim 10^{-11} — desprezível frente a x e a C_0. Portanto é seguro simplificar ignorando os termos com K_w na expressão acima. Assim, aproximamos:
K_a \approx \dfrac{x\cdot x}{C_0 - x} = \dfrac{x^2}{C_0 - x}.
Explicando: essa é a equação clássica de dissociação de um ácido monoprótico fraco em solução, obtida ao desprezar a contribuição da autoionização da água.

Passo 5

Transformar a expressão aproximada em uma equação algébrica simples e resolver exatamente (sem assumir x\ll C_0 a priori).
A equação é:
K_a = \dfrac{x^2}{C_0 - x}.
Multiplicando ambos os lados por C_0-x:
K_a(C_0 - x) = x^2.
Rearranjando:
x^2 + K_a x - K_a C_0 = 0.
Isto é uma equação quadrática em x. Para resolver usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). As raízes de a x^2 + b x + c = 0 são
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}.
No nosso caso a=1, b=K_a e c=-K_a C_0. Substituindo:
x = \dfrac{-K_a \pm \sqrt{K_a^2 - 4\cdot1\cdot(-K_a C_0)}}{2} = \dfrac{-K_a \pm \sqrt{K_a^2 + 4 K_a C_0}}{2}.
Como x=[\mathrm{H^+}]>0, tomamos o sinal +:
x = \dfrac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4 K_a C_0}}{2}.

Passo 6

Calcular numericamente x=[\mathrm{H^+}] com os valores dados (faço as contas detalhadas para você conseguir reproduzir na prova).
  • Valores numéricos:
    • K_a = 6,7\times10^{-4}.
    • C_0 = 0,01.
Calcule o discriminante:
K_a^2 = (6,7\times10^{-4})^2 = 4,489\times10^{-7}.
4 K_a C_0 = 4\cdot (6,7\times10^{-4})\cdot(0,01) = 4\cdot 6,7\times10^{-6} = 2,68\times10^{-5}.
Somando:
K_a^2 + 4 K_a C_0 = 4,489\times10^{-7} + 2,68\times10^{-5} = 2,72489\times10^{-5}.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{2,72489\times10^{-5}} \approx 5,2207\times10^{-3}.
Aplicando a fórmula:
x = \dfrac{-6,7\times10^{-4} + 5,2207\times10^{-3}}{2} = \dfrac{4,5507\times10^{-3}}{2} = 2,27535\times10^{-3}\\ \mathrm{mol/L}.
Arredondando com coerência à precisão dos dados (duas casas significativas no K_a e na concentração): x \approx 2,28\times10^{-3}\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 7

Calcular o pH e checar consistência das aproximações.
  • pH é definido como:
\mathrm{pH} = -\log_{10} [\mathrm{H^+}] = -\log_{10} x.
Com x = 2,27535\times10^{-3}:
\mathrm{pH} = -\log_{10}\left(2,27535\times10^{-3}\right).
Calcule o logaritmo (detalhe prático):
\log_{10}(2,27535\times10^{-3}) = \log_{10}(2,27535) + \log_{10}(10^{-3}) \approx 0,3579 - 3 = -2,6421.
Portanto
\mathrm{pH} \approx 2,6421.
Arredondando para duas casas decimais: \mathrm{pH}\approx 2,64.
Verificação rápida da hipótese de negligenciar K_w/x e da aproximação x\ll C_0:
  • x/C_0 \approx 2,275\times10^{-3}/0,01 = 0,2275 ( \approx 22{,}8\%). Isso significa que a regra simplificada x\ll C_0 (regra dos 5\%) não é estritamente válida; por isso foi importante resolver a quadrática exata. A aproximação simples x\approx\sqrt{K_a C_0} teria dado:
x_{\text{aprx}} \approx \sqrt{6,7\times10^{-4}\cdot 0,01} = \sqrt{6,7\times10^{-6}} \approx 2,59\times10^{-3},
que daria \mathrm{pH}\approx 2,59: próximo, mas com erro de cerca de 0,05 unidades de pH. Então a solução exata (quadrática) é a mais correta aqui.
  • K_w/x \approx 1,0\times10^{-14}/(2,28\times10^{-3}) \approx 4,39\times10^{-12}, muito pequeno frente a x e a C_0, então desprezar os termos com K_w foi seguro.

Resposta

(a) \mathrm{HF} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{F^-}, \qquad K_a = 6,7\times10^{-4} = \dfrac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{F^-}]}{[\mathrm{HF}]}
\mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{OH^-}, \qquad K_w = 1,0\times10^{-14} = [\mathrm{H^+}][\mathrm{OH^-}]
(b) Balanço de massa: C_0 = [\mathrm{HF}] + [\mathrm{F^-}] com C_0=0,01\\ \mathrm{mol/L}
Balanço de carga: [\mathrm{H^+}] = [\mathrm{F^-}] + [\mathrm{OH^-}]
(c) \mathrm{pH}\approx 2,64

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