Utilizando o tratamento sistemático do equilíbrio, defina qual seria a concentração de íons \left[\mathrm{H}_{3} \mathrm{O}^{+}\right]de uma solução que contém uma mistura de um ácido fraco HA, de concentração analítica Ca e um ácido forte, HX, de concentração analítica Cx. (Como demostrado em sala de aula, o desafio é a junção de ambos os equilíbrios)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Queremos determinar a concentração de íons \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right] de uma solução que contém:
    • um ácido fraco \mathrm{HA} com concentração analítica C_a e constante de dissociação K_a;
    • um ácido forte \mathrm{HX} com concentração analítica C_x que se dissocia totalmente.
  • Devemos tratar os equilíbrios de forma sistemática, isto é, usar balanços de massa/equilíbrio e a condição de eletroneutralidade (incluindo a autoionização da água).
  • Informação adicional que usaremos (pressupostos típicos):
    • temperatura fixa, portanto K_w conhecido ( K_w=[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+][\mathrm{OH}^-]);
    • \mathrm{HX} fornece imediatamente [\mathrm{X}^-]=C_x e contribui com C_x à carga positiva;
    • não foi pedido um valor numérico — queremos a expressão que define \left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right].

Passo 2

Definições de variáveis e equações fundamentais (com explicação didática):
  • Definir h=\left[\mathrm{H}_{3}\mathrm{O}^{+}\right]. É a incógnita que queremos.
  • Equilíbrio do ácido fraco \mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{A}^-:
    • constante de equilíbrio
    K_a=\dfrac{[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}=\dfrac{h\,[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}.
    • aqui K_a é dado (característica do ácido fraco).
  • Balanço de massa do ácido fraco (concentração analítica): C_a=[\mathrm{HA}]+[\mathrm{A}^-].Isso significa que a quantidade total de espécies relacionadas a HA, por dissociada ou não, é C_a.
  • Ácido forte HX dissocia totalmente: [\mathrm{X}^-]=C_x, \qquad \text{e contribui com }C_x\text{ para a carga positiva.}
  • Autoionização da água: K_w=[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+][\mathrm{OH}^-]=h\,[\mathrm{OH}^-],portanto [\mathrm{OH}^-]=\dfrac{K_w}{h}.
  • Condição de eletroneutralidade (soma de cargas positivas = soma de cargas negativas). Em solução aquosa sem outras íons além de H+, A−, X− e OH−: [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+]=[\mathrm{A}^-]+[\mathrm{X}^-]+[\mathrm{OH}^-].Essa equação é central: ela liga h a [\mathrm{A}^-], C_x e K_w.

Passo 3

Expressar [\mathrm{A}^-] em função de h e C_a usando K_a e o balanço de massa:
  • Da relação de K_a: K_a=\dfrac{h\,[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}e do balanço [\mathrm{HA}]=C_a-[\mathrm{A}^-].
  • Substituindo: K_a=\dfrac{h\,[\mathrm{A}^-]}{C_a-[\mathrm{A}^-]}.
  • Isolando [\mathrm{A}^-]: multiplicar ambos os lados por C_a-[\mathrm{A}^-] K_a(C_a-[\mathrm{A}^-])=h\,[\mathrm{A}^-].
K_a C_a - K_a[\mathrm{A}^-]=h[\mathrm{A}^-].
K_a C_a = [\mathrm{A}^-](h+K_a).
[\mathrm{A}^-]=\dfrac{K_a C_a}{h+K_a}.
  • Comentário didático: essa fórmula mostra o efeito do íon comum: quanto maior h em relação a K_a, menor [\mathrm{A}^-] (dissociação suprimida).

Passo 4

Substituir [\mathrm{A}^-], [\mathrm{X}^-] e [\mathrm{OH}^-] na eletroneutralidade para obter uma equação para h:
  • Eletroneutralidade: h=[\mathrm{A}^-]+[\mathrm{X}^-]+[\mathrm{OH}^-].
  • Substituindo cada termo: h=\dfrac{K_a C_a}{h+K_a}+C_x+\dfrac{K_w}{h}.
  • Comentário didático: essa equação é a equação implícita que define h. Ela inclui: contribuição do ácido forte ( C_x), dissociação do ácido fraco (primeiro termo à direita) e a contribuição básica da água (último termo).

Passo 5

Transformar a equação em um polinômio (limpar denominadores) para obter uma forma explícita cujo(s) raiz(es) positiva(s) correspondem a \left[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+\right]:
  • Começando de h=\dfrac{K_a C_a}{h+K_a}+C_x+\dfrac{K_w}{h}.
  • Subtrair C_x e recolocar termos: h-C_x=\dfrac{K_a C_a}{h+K_a}+\dfrac{K_w}{h}.
  • Multiplicar ambos os lados por h(h+K_a) para eliminar denominadores: (h-C_x)h(h+K_a)=K_a C_a \, h + K_w(h+K_a).
  • Desenvolver o lado esquerdo passo a passo: (h-C_x)h(h+K_a)=h\bigl((h-C_x)(h+K_a)\bigr)
=(h)\bigl(h^2 +K_a h - C_x h - K_a C_x\bigr)
=h^3 + (K_a - C_x)h^2 - K_a C_x h.
  • Desenvolver o lado direito: K_a C_a \, h + K_w(h+K_a)=K_a C_a h + K_w h + K_w K_a.
  • Igualando e levando todos os termos para o mesmo lado: h^3 + (K_a - C_x)h^2 - K_a C_x h - \bigl(K_a C_a h + K_w h + K_w K_a\bigr)=0.
  • Agrupando os termos em h: h^3 + (K_a - C_x)h^2 -\bigl(K_a(C_a + C_x) + K_w\bigr)h - K_w K_a = 0.
  • Essa é a equação polinomial de terceira ordem em h cuja raiz positiva física é a concentração \left[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+\right].

Passo 6

Interpretação prática, soluções aproximadas e como usar essa equação na prova:
  • Solução exata: \left[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+\right] é a raiz real positiva do polinômio h^3 + (K_a - C_x)h^2 -\bigl(K_a(C_a + C_x) + K_w\bigr)h - K_w K_a = 0,com h=\left[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+\right].
    • Em geral resolve-se numericamente (método de Newton, calculadora, software) ou encontrando aproximações.
  • Aproximações usuais (quando aplicáveis):
    1. Se a contribuição da autoionização da água for desprezível (solução suficientemente ácida; h muito maior que \sqrt{K_w}), pode-se desprezar K_w. Então a equação reduz-se a uma quadrática: h^2 + (K_a - C_x)h - K_a(C_a + C_x)=0.A solução física (raiz positiva) é h=\dfrac{-(K_a - C_x)+\sqrt{(K_a - C_x)^2+4K_a(C_a + C_x)}}{2}.
      • Didática rápida: escolhe-se o sinal + na raiz quadrada porque deseja-se h>0.
    2. Se o ácido forte domina fortemente ( C_x grande comparado a termos relacionados ao fraco), uma primeira aproximação razoável é h\approx C_x,e uma correção de primeira ordem pode ser obtida substituindo h por C_x no termo da fração do ácido fraco: h\approx C_x + \dfrac{K_a C_a}{C_x+K_a}.
      • Isso mostra o efeito de suprimir a dissociação do ácido fraco (o denominador C_x+K_a evita grande dissociação quando C_x é grande).
    3. Se C_x=0 (só ácido fraco), a equação volta ao caso bem conhecido e simplifica consistentemente ao polinômio correspondente.
  • Na prova: escreva com clareza os passos (mass balance, Ka, eletroneutralidade), obtenha a equação implícita mostrada em Passo 4 e, se permitido, justifique uma aproximação numérica (por exemplo desprezar K_w) ou resolva numericamente.

Resposta

\left[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+\right]=h é a raiz real positiva da equação
h^3 + (K_a - C_x)h^2 -\bigl(K_a(C_a + C_x) + K_w\bigr)h - K_w K_a = 0.
Aproximação útil (desprezando K_w):
h=\dfrac{-(K_a - C_x)+\sqrt{(K_a - C_x)^2+4K_a(C_a + C_x)}}{2}.

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