EXEMPLO 5 Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0 \quad y(0)=1 \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece um problema de valor inicial com as seguintes informações:
  • A equação diferencial: y''+y'-6y=0.
  • As condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0.
O que o problema pede é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais ao mesmo tempo.

Passo 2

Ideia básica do método (explicação didática):
  • Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, uma técnica eficiente é procurar soluções da forma \displaystyle y(x)=e^{r x}, onde r é um número a determinar.
  • Por que isso funciona? Porque exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{r x}=r e^{r x} e \dfrac{d^2}{dx^2}e^{r x}=r^2 e^{r x}. Ao substituir na equação, e^{r x} pode ser fatorado, sobrando uma equação algébrica em r (a chamada equação característica).
    Agora aplicamos essa ideia.

Passo 3

Assumindo \displaystyle y(x)=e^{r x}, calcule as derivadas e substitua na equação:
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^2 e^{r x}.
Substituindo em \,y''+y'-6y=0\: obtemos
r^2 e^{r x} + r e^{r x} - 6 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por ele e ficar com a equação característica
r^2 + r - 6 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática característica \,r^2 + r - 6 = 0.
Fatorando:
r^2 + r - 6 = (r+3)(r-2).
Portanto as raízes são
r_1 = 2,\qquad r_2 = -3.

Passo 5

Como as duas raízes são reais distintas, a forma geral da solução da equação homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais. (Explicação curta: soluções e^{2x} e e^{-3x} são linearmente independentes, então a combinação linear delas dá toda a família de soluções.)

Passo 6

Calcule a derivada y'(x) para aplicar a condição inicial em y':
y'(x)=2 C_1 e^{2x} - 3 C_2 e^{-3x}.
Agora aplique as condições iniciais em x=0.

Passo 7

Aplicando y(0)=1:
y(0)=C_1 + C_2 = 1.
Aplicando y'(0)=0:
y'(0)=2C_1 - 3C_2 = 0.
Assim obtemos o sistema linear para C_1 e C_2:
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\[4pt] 2C_1 - 3C_2 = 0. \end{cases}]

Passo 8

Resolva o sistema para encontrar C_1 e C_2.
Da segunda equação vem 2C_1 = 3C_2, portanto C_1 = \dfrac{3}{2}C_2.
Substituindo na primeira:
\dfrac{3}{2}C_2 + C_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{5}{2}C_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \dfrac{2}{5}.
Então
C_1 = \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}.

Passo 9

Breve verificação (para ter confiança): com C_1=\dfrac{3}{5} e C_2=\dfrac{2}{5},
  • y(0)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=1 — bate com a condição inicial;
  • y'(0)=2\cdot\dfrac{3}{5}-3\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{6-6}{5}=0 — também bate. Tudo consistente.

Resposta

y(x)=\dfrac{3}{5}e^{2x}+\dfrac{2}{5}e^{-3x}

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