(2,0) Sabendo que [I]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 4 \\\\ 4 & -11\end{array}\right] e B=\{(3,5),(1,2)\}. Determinar a base A.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A matriz [I]_{B}^{A} é
[I]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[4pt] 4 & -11\end{pmatrix}.
  • A base B é B=\{(3,5),(1,2)\}. Vou denotar b_{1}=(3,5) e b_{2}=(1,2).
  • O que se pede: determinar a base A.]

Passo 2

Explicação do que significa [I]_{B}^{A} (a ideia que vamos usar): a notação [I]_{B}^{A} é a matriz da aplicação identidade escrita com domínio na base A e contradomínio na base B. Isso significa que, para cada vetor a_{j} da base A, sua coluna j em [I]_{B}^{A} é o vetor de coordenadas de a_{j} em relação à base B. Em outras palavras, se a coluna j é
\begin{pmatrix} \alpha \\[2pt] \beta \end{pmatrix},
então vale
[a_{j}]_{B}=\begin{pmatrix}\alpha\\[2pt]\beta\end{pmatrix},
e isso significa
a_{j}=\alpha\,b_{1}+\beta\,b_{2}.
Aqui:
  • a_{j} é o j-ésimo vetor da base A que queremos encontrar;
  • b_{1} e b_{2} são os vetores da base B, conhecidos;
  • \alpha e \beta são as coordenadas de a_{j} na base B (tiradas das colunas de [I]_{B}^{A}).
Então a estratégia é: pegar cada coluna da matriz dada, interpretá-la como coordenadas em B, e calcular a combinação linear correspondente para obter os vetores de A.]

Passo 3

Pegar a primeira coluna de [I]_{B}^{A}. A primeira coluna é
\begin{pmatrix}-1\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Isto significa que o primeiro vetor a_{1} da base A satisfaz
a_{1} = -1\cdot b_{1} + 4\cdot b_{2}.
Agora substituo b_{1}=(3,5) e b_{2}=(1,2):
a_{1} = -1\cdot\begin{pmatrix}3\\[2pt]5\end{pmatrix} + 4\cdot\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\[2pt]-5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\[2pt]8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Pegar a segunda coluna de [I]_{B}^{A}. A segunda coluna é
\begin{pmatrix}4\\[2pt]-11\end{pmatrix}.
Isto significa que o segundo vetor a_{2} da base A satisfaz
a_{2} = 4\cdot b_{1} + (-11)\cdot b_{2}.
Substituindo b_{1}=(3,5) e b_{2}=(1,2):
a_{2} = 4\cdot\begin{pmatrix}3\\[2pt]5\end{pmatrix} -11\cdot\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\[2pt]20\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}11\\[2pt]22\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação (importante na prova): para que \{a_{1},a_{2}\} seja realmente uma base de \mathbb{R}^{2}, os vetores devem ser linearmente independentes. Calculo o determinante da matriz cujas colunas são a_{1} e a_{2}:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]3 & -2\end{pmatrix} = 1\cdot(-2) - 1\cdot 3 = -2-3 = -5 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, a_{1} e a_{2} são linearmente independentes e formam uma base.]

Resposta

\displaystyle A=\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix}\right\}]

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