A base B é B=\{(3,5),(1,2)\}. Vou denotar b_{1}=(3,5) e b_{2}=(1,2).
O que se pede: determinar a base A.]
Passo 2
Explicação do que significa [I]_{B}^{A} (a ideia que vamos usar): a notação [I]_{B}^{A} é a matriz da aplicação identidade escrita com domínio na base A e contradomínio na base B. Isso significa que, para cada vetor a_{j} da base A, sua coluna j em [I]_{B}^{A} é o vetor de coordenadas de a_{j} em relação à base B. Em outras palavras, se a coluna j é
a_{j} é o j-ésimo vetor da base A que queremos encontrar;
b_{1} e b_{2} são os vetores da base B, conhecidos;
\alpha e \beta são as coordenadas de a_{j} na base B (tiradas das colunas de [I]_{B}^{A}).
Então a estratégia é: pegar cada coluna da matriz dada, interpretá-la como coordenadas em B, e calcular a combinação linear correspondente para obter os vetores de A.]
Passo 3
Pegar a primeira coluna de [I]_{B}^{A}. A primeira coluna é
\begin{pmatrix}-1\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Isto significa que o primeiro vetor a_{1} da base A satisfaz
Verificação (importante na prova): para que \{a_{1},a_{2}\} seja realmente uma base de \mathbb{R}^{2}, os vetores devem ser linearmente independentes. Calculo o determinante da matriz cujas colunas são a_{1} e a_{2}: