Determine se a sequencia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{n+1}{\sqrt{9 n^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n+1}{\sqrt{9 n^{2}+1}}
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontrar o limite \lim_{n\to\infty}a_n.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é indexada por n (assume-se n\in\mathbb{N}, portanto n>0).
  • O termo geral é a razão entre um polinômio de grau 1 no numerador e a raiz quadrada de um polinômio de grau 2 no denominador.
  • A pergunta é sobre o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Estratégia prática (truque de prova que costuma cair em prova): comparar as taxas de crescimento do numerador e do denominador, dividindo numerador e denominador pela maior potência de n que aparece de maneira simples — aqui, pela potência n (já que dentro da raiz aparece n^{2}, a raiz gera um fator n). Vou reescrever a_n tirando fator n da expressão para tornar evidente o limite.
Calculemos:
a_{n}=\frac{n+1}{\sqrt{9 n^{2}+1}}.
Como n>0, pode-se fatorar n da raiz:
\sqrt{9 n^{2}+1}=n\sqrt{9+\frac{1}{n^{2}}}.
Portanto
a_{n}=\frac{n+1}{n\sqrt{9+\frac{1}{n^{2}}}}=\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{9+\frac{1}{n^{2}}}}.

Passo 3

Agora analisamos os limites das duas partes que aparecem:
  • O numerador 1+\dfrac{1}{n}. Sabemos que \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, então
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1.
Breve motivação: \dfrac{1}{n} vai a 0 porque ao aumentar n o inverso fica cada vez menor; formalmente, para dado \varepsilon>0 basta tomar N>\dfrac{1}{\varepsilon} para ter \left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\varepsilon para todo n\ge N.
  • O denominador \sqrt{9+\dfrac{1}{n^{2}}}. Como \dfrac{1}{n^{2}}\to 0, a expressão dentro da raiz tende a 9. A função \sqrt{\cdot} é contínua em 9, então
\lim_{n\to\infty}\sqrt{9+\frac{1}{n^{2}}}=\sqrt{9}=3.
(Mais uma vez, formalmente: se x_n\to 9 e f é contínua em 9, então f(x_n)\to f(9).)

Passo 4

Usando as regras de limites (produto/quociente): se b_n\to b e c_n\to c com c\neq 0, então \dfrac{b_n}{c_n}\to \dfrac{b}{c}. Aplicando isso ao nosso caso, com
b_n=1+\frac{1}{n}\quad\text{e}\quad c_n=\sqrt{9+\frac{1}{n^{2}}},
temos b_n\to 1 e c_n\to 3 (e 3\neq 0), logo
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{c_n}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Interpretação e dica de prova para a prova: a intuição é que para grandes n o termo +1 no numerador é desprezível em relação a n, e o +1 dentro da raiz é desprezível em relação a 9n^{2}; então o comportamento dominante é \dfrac{n}{\sqrt{9n^{2}}}=\dfrac{n}{3n}=\dfrac{1}{3}. Em provas, esse procedimento de "dividir pela maior potência de n" e usar propriedades de limites é o caminho mais direto.
Exemplo rápido parecido: para \dfrac{n+5}{\sqrt{4n^{2}+10}} faria a mesma coisa e obteria \dfrac{1}{2}, porque \sqrt{4n^{2}}=2n domina.

Passo 6

Conclusão final: a sequência converge e o limite é \dfrac{1}{3}.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{1}{3}.

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