Determine se a sequencia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a_{n}=\frac{n+1}{\sqrt{9 n^{2}+1}}
Passo 1
O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n+1}{\sqrt{9 n^{2}+1}}
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontrar o limite \lim_{n\to\infty}a_n.
Informações relevantes fornecidas:
A sequência é indexada por n (assume-se n\in\mathbb{N}, portanto n>0).
O termo geral é a razão entre um polinômio de grau 1 no numerador e a raiz quadrada de um polinômio de grau 2 no denominador.
A pergunta é sobre o comportamento quando n\to\infty.
Passo 2
Estratégia prática (truque de prova que costuma cair em prova): comparar as taxas de crescimento do numerador e do denominador, dividindo numerador e denominador pela maior potência de n que aparece de maneira simples — aqui, pela potência n (já que dentro da raiz aparece n^{2}, a raiz gera um fator n). Vou reescrever a_n tirando fator n da expressão para tornar evidente o limite.
Agora analisamos os limites das duas partes que aparecem:
O numerador 1+\dfrac{1}{n}. Sabemos que \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, então
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1.
Breve motivação: \dfrac{1}{n} vai a 0 porque ao aumentar n o inverso fica cada vez menor; formalmente, para dado \varepsilon>0 basta tomar N>\dfrac{1}{\varepsilon} para ter \left|\dfrac{1}{n}-0\right|<\varepsilon para todo n\ge N.
O denominador \sqrt{9+\dfrac{1}{n^{2}}}. Como \dfrac{1}{n^{2}}\to 0, a expressão dentro da raiz tende a 9. A função \sqrt{\cdot} é contínua em 9, então
(Mais uma vez, formalmente: se x_n\to 9 e f é contínua em 9, então f(x_n)\to f(9).)
Passo 4
Usando as regras de limites (produto/quociente): se b_n\to b e c_n\to c com c\neq 0, então \dfrac{b_n}{c_n}\to \dfrac{b}{c}. Aplicando isso ao nosso caso, com
Interpretação e dica de prova para a prova: a intuição é que para grandes n o termo +1 no numerador é desprezível em relação a n, e o +1 dentro da raiz é desprezível em relação a 9n^{2}; então o comportamento dominante é \dfrac{n}{\sqrt{9n^{2}}}=\dfrac{n}{3n}=\dfrac{1}{3}. Em provas, esse procedimento de "dividir pela maior potência de n" e usar propriedades de limites é o caminho mais direto.
Exemplo rápido parecido: para \dfrac{n+5}{\sqrt{4n^{2}+10}} faria a mesma coisa e obteria \dfrac{1}{2}, porque \sqrt{4n^{2}}=2n domina.
Passo 6
Conclusão final: a sequência converge e o limite é \dfrac{1}{3}.
Resposta
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{1}{3}.