EXEMPLO 6 Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+y=0 \quad y(0)=2 \quad y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y''+y=0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=3.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e as condições iniciais.

Passo 2

Vamos transformar a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes numa equação algébrica chamada equação característica. A ideia é procurar soluções do tipo exponencial \mathrm{e}^{rx}. Substituindo y=\mathrm{e}^{rx} em y''+y=0 obtemos a equação característica
r^{2}+1=0.
Aqui r é uma incógnita complexa que aparece ao substituir a solução exponencial.

Passo 3

Resolvendo a equação característica \;r^{2}+1=0\; temos
r^{2}=-1\quad\Rightarrow\quad r=\pm i,
ou seja, dois raízes complexas conjugadas r_{1}=i e r_{2}=-i. Quando as raízes são complexas da forma \alpha\pm i\beta, a solução geral real da EDO é
y(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big).
No nosso caso \alpha=0 e \beta=1, então a forma geral simplifica para
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora calculemos a derivada primeira y'(x) para poder aplicar y'(0)=3. Derivando termo a termo:
y'(x) = -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
Expliquei: derivada de \cos x é -\sin x e derivada de \sin x é \cos x.

Passo 5

Aplique a condição inicial y(0)=2. Usando \cos 0=1 e \sin 0=0,
y(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 = C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Portanto
C_{1}=2.

Passo 6

Aplique a condição inicial y'(0)=3. Usando \cos 0=1 e \sin 0=0 na expressão de y'(x),
y'(0) = -C_{1}\sin 0 + C_{2}\cos 0 = -C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 1 = C_{2}.
Portanto
C_{2}=3.

Passo 7

Substituindo C_{1}=2 e C_{2}=3 na solução geral obtemos a solução particular que atende às condições iniciais:
y(x)=2\cos x + 3\sin x.

Passo 8

Verificação rápida (checar que a solução realmente satisfaz a EDO): calcule y''(x). Já temos y'(x)=-2\sin x + 3\cos x. Derivando novamente,
y''(x) = -2\cos x -3\sin x = -(2\cos x + 3\sin x) = -y(x).
Logo y''+y=0 é satisfeita. As condições iniciais também são satisfeitas por construção.

Resposta

y(x)=2\cos x + 3\sin x

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