EXEMPLO 6 Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial dada e as condições iniciais.
Passo 2
Vamos transformar a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes numa equação algébrica chamada equação característica. A ideia é procurar soluções do tipo exponencial
. Substituindo
em
obtemos a equação característica
Aqui
é uma incógnita complexa que aparece ao substituir a solução exponencial.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
temos
ou seja, dois raízes complexas conjugadas
e
. Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral real da EDO é
No nosso caso
e
, então a forma geral simplifica para
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora calculemos a derivada primeira
para poder aplicar
. Derivando termo a termo:
Expliquei: derivada de
é
e derivada de
é
.
Passo 5
Aplique a condição inicial
. Usando
e
,
Portanto
Passo 6
Aplique a condição inicial
. Usando
e
na expressão de
,
Portanto
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que atende às condições iniciais:
Passo 8
Verificação rápida (checar que a solução realmente satisfaz a EDO): calcule
. Já temos
. Derivando novamente,
Logo
é satisfeita. As condições iniciais também são satisfeitas por construção.