Sejam \mathrm{f}, \mathrm{g}: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}, definidas por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1 e \mathrm{g}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}. Defina as funções abaixo:
g \circ f

Passo 1

O enunciado dá duas funções \mathrm{f} e \mathrm{g} com domínio e contradomínio \mathbb{N}:
\mathrm{f}:\mathbb{N}\to\mathbb{N},\qquad \mathrm{f}(x)=x+1,
\mathrm{g}:\mathbb{N}\to\mathbb{N},\qquad \mathrm{g}(x)=3x.
A pergunta é: definir a função composta g\circ f. Em outras palavras, encontrar uma expressão que descreva (g\circ f)(x) para x\in\mathbb{N}.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): a composição de funções g\circ f significa primeiro aplicar f a um elemento x e, em seguida, aplicar g ao resultado. Por definição,
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big).
Aqui x é uma variável que representa um número natural; (g\circ f)(x) é o valor da função composta no ponto x.

Passo 3

Vamos calcular \;f(x)\; primeiro, usando a definição dada:
f(x)=x+1.
Isso significa que, para qualquer x\in\mathbb{N}, f(x) é o número natural imediatamente seguinte a x.

Passo 4

Agora aplicamos g ao valor f(x). Pela definição de g,
g(y)=3y\quad\text{para qualquer entrada }y.
Substituímos y por f(x). Assim,
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=3\cdot f(x).

Passo 5

Substituindo a expressão de f(x)=x+1 na linha anterior, obtemos
(g\circ f)(x)=3\cdot (x+1).
Agora fazemos a simplificação algébrica: distribuímos o 3 sobre a soma x+1,
3\cdot (x+1)=3x+3.
Portanto a expressão simplificada da função composta é (g\circ f)(x)=3x+3.

Passo 6

Verificação rápida com exemplos numéricos (para ganhar confiança): suponha x=0 (se você considerar 0\in\mathbb{N}):
f(0)=0+1=1,\qquad g(f(0))=g(1)=3\cdot1=3,
e a fórmula dá (g\circ f)(0)=3\cdot0+3=3. Para x=2:
f(2)=3,\qquad g(f(2))=g(3)=9,
e a fórmula dá (g\circ f)(2)=3\cdot2+3=9. Está consistente.

Passo 7

Resumo didático para a prova (truque prático): para compor g\circ f lembre-se da ordem — primeiro f, depois g. Escreva g(f(x)), substitua explicitamente f(x) na expressão de g e simplifique. Isso evita erros de ordem ou de sinal.

Resposta

\;g\circ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} definida por (g\circ f)(x)=3x+3

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