Exemplo

Use o Teorema anterior para determinar se o campo vetorial
F(x, y)=(x-y) i+(x-2) j
é ou não conservativo em algum conjunto aberto.

Passo 1

O campo vetorial dado é
F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j
com
P(x,y)=x-y, Q(x,y)=x-2
Como o domínio natural é R^2, que é aberto e simplesmente conexo, podemos aplicar o critério: F é conservativo se, e somente se,
partial Ppartial y=partial Qpartial x
em todo o domínio.

Passo 2

Calculamos
partial Ppartial y =partialpartial y(x-y) =-1

Passo 3

Calculamos
partial Qpartial x =partialpartial x(x-2) =1

Passo 4

Como
partial Ppartial y=-1 neq 1=partial Qpartial x,
o critério não é satisfeito. Portanto F não admite potencial em nenhum conjunto aberto.

Resposta

O campo F(x,y)=(x-y),i+(x-2),j não é conservativo em qualquer conjunto aberto.

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