Proposição 1.4.4: Para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, tem-se:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em
, um vetor
satisfaz
se, e somente se,
.
Para isso vamos usar a definição do produto interno como soma de quadrados das coordenadas, sabendo que cada quadrado é não-negativo.
Para isso vamos usar a definição do produto interno como soma de quadrados das coordenadas, sabendo que cada quadrado é não-negativo.
Passo 2
Mostramos primeiro que, se
, então
.
Escrevendo , temos
Escrevendo
Passo 3
Agora suponha
.
Escrevendo , a definição dá
Escrevendo
Como cada termo
, a soma só pode ser zero se
para todo
. Logo
em cada coordenada, isto é,
.
Resposta
Ficou demonstrado que
concluindo a prova da proposição.