Proposição 1.4.4: Para quaisquer vetores vec{u}, vec{v} e vec{w} e para qualquer escalar lambda \in \mathbb{R}, tem-se:
vec{u} \cdot vec{u}=0 \Leftrightarrow vec{u}=\overrightarrow{0}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em \mathbb{R}^n, um vetor \vec{u} satisfaz
\vec{u}\cdot\vec{u}=0
se, e somente se, \vec{u}=\overrightarrow{0}.
Para isso vamos usar a definição do produto interno como soma de quadrados das coordenadas, sabendo que cada quadrado é não-negativo.

Passo 2

Mostramos primeiro que, se \vec{u}=\overrightarrow{0}$, então \vec{u}\cdot\vec{u}=0.
Escrevendo \overrightarrow{0}=(0,0,\dots,0), temos
\overrightarrow{0}\cdot\overrightarrow{0} =\sum_{i=1}^n 0^2 =0.

Passo 3

Agora suponha \vec{u}\cdot\vec{u}=0.
Escrevendo \vec{u}=(u_1,u_2,\dots,u_n), a definição dá
\vec{u}\cdot\vec{u} =\sum_{i=1}^n u_i^2 =0.
Como cada termo u_i^2\ge0, a soma só pode ser zero se u_i^2=0 para todo i. Logo u_i=0 em cada coordenada, isto é, \vec{u}=\overrightarrow{0}.

Resposta

Ficou demonstrado que
\vec{u}\cdot\vec{u}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{u}=\overrightarrow{0},
concluindo a prova da proposição.

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