Use o teorema dos resíduos de Cauchy (Seção 76) para calcular a integral de cada uma dessas funções ao longo do círculo
no sentido positivo.
;
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de contorno, no sentido positivo, ao longo do círculo
, da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observe que o ponto
fica dentro do círculo
.
Passo 2
Vamos usar o Teorema dos Resíduos de Cauchy. Vou lembrar e explicar esse teorema de forma simples e prática. Seja
uma função meromorfa (ou analítica exceto por singularidades isoladas) dentro e sobre um contorno fechado simples
. O Teorema dos Resíduos afirma que
O “resíduo” de
num ponto singular isolado
é o coeficiente
da série de Laurent de
centrada em
:
e
Portanto, nosso objetivo prático é: localizar as singularidades de
dentro do círculo, calcular o resíduo em cada uma e somar.
Passo 3
Identificação das singularidades:
A função tem uma singularidade essencial em
. Multiplicar por
não remove o caráter essencial em
; então
é a única singularidade isolada da função
, e ela está estritamente dentro do círculo
. Não há outras singularidades (pois a exponencial é inteira exceto pelo
). Assim, pela observação do passo anterior,
A função
Passo 4
Cálculo do resíduo via expansão em série de Laurent. A ideia é expandir
em série de potências negativas e multiplicar por
, depois pegar o coeficiente do termo
.
Começamos pela série conhecida da exponencial:
Substituindo
obtemos a série de Laurent de
em torno de
:
Multiplicando por
para obter a série de
:
Passo 5
Extração do coeficiente de
. Nós queremos o coeficiente associado a
na série acima. No termo geral
queremos
, isto é
. Para
o coeficiente é
. Logo
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Pequeno comentário prático: a técnica usada aqui — expandir a exponencial e identificar o termo que gera
após multiplicar por
— é muito útil em provas porque evita cálculos de integrais diretas. Sempre que aparecer
ou séries parecidas, pense em séries de Laurent e procure o coeficiente
.