Use o teorema dos resíduos de Cauchy (Seção 76) para calcular a integral de cada uma dessas funções ao longo do círculo |z|=3 no sentido positivo.
z^{2} \exp \left(\frac{1}{z}\right);

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de contorno, no sentido positivo, ao longo do círculo |z|=3, da função
z^{2}\exp\!\left(\frac{1}{z}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{integrando: } z^{2}\exp\!\left(\frac{1}{z}\right), \qquad \text{contorno: } |z|=3 \text{ (orientação positiva).}çã
Observe que o ponto z=0 fica dentro do círculo |z|=3.

Passo 2

Vamos usar o Teorema dos Resíduos de Cauchy. Vou lembrar e explicar esse teorema de forma simples e prática. Seja f uma função meromorfa (ou analítica exceto por singularidades isoladas) dentro e sobre um contorno fechado simples C. O Teorema dos Resíduos afirma que
\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \sum (\text{resíduos de } f \text{ dentro de } C).í
O “resíduo” de f num ponto singular isolado z_0 é o coeficiente a_{-1} da série de Laurent de f centrada em z_0:
f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k (z-z_0)^k,
e
\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}.
Portanto, nosso objetivo prático é: localizar as singularidades de z^{2}\exp(1/z) dentro do círculo, calcular o resíduo em cada uma e somar.

Passo 3

Identificação das singularidades:
A função \exp\!\left(\frac{1}{z}\right) tem uma singularidade essencial em z=0. Multiplicar por z^2 não remove o caráter essencial em 0; então z=0 é a única singularidade isolada da função z^{2}\exp\!\left(\frac{1}{z}\right), e ela está estritamente dentro do círculo |z|=3. Não há outras singularidades (pois a exponencial é inteira exceto pelo 1/z). Assim, pela observação do passo anterior,
\oint_{|z|=3} z^{2}\exp\!\left(\frac{1}{z}\right)\,dz = 2\pi i\;\operatorname{Res}\bigl(z^{2}\exp(1/z),\,0\bigr).

Passo 4

Cálculo do resíduo via expansão em série de Laurent. A ideia é expandir \exp\!\left(\frac{1}{z}\right) em série de potências negativas e multiplicar por z^2, depois pegar o coeficiente do termo z^{-1}.
Começamos pela série conhecida da exponencial:
\exp(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{w^{n}}{n!}.
Substituindo w=\dfrac{1}{z} obtemos a série de Laurent de \exp(1/z) em torno de z=0:
\exp\!\left(\frac{1}{z}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{-n}.
Multiplicando por z^{2} para obter a série de z^{2}\exp(1/z):
z^{2}\exp\!\left(\frac{1}{z}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{2-n}.

Passo 5

Extração do coeficiente de z^{-1}. Nós queremos o coeficiente associado a z^{-1} na série acima. No termo geral \dfrac{1}{n!}z^{2-n} queremos 2-n=-1, isto é n=3. Para n=3 o coeficiente é \dfrac{1}{3!}. Logo
\operatorname{Res}\bigl(z^{2}\exp(1/z),\,0\bigr)=\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
\oint_{|z|=3} z^{2}\exp\!\left(\frac{1}{z}\right)\,dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi i}{3}.
Pequeno comentário prático: a técnica usada aqui — expandir a exponencial e identificar o termo que gera z^{-1} após multiplicar por z^2 — é muito útil em provas porque evita cálculos de integrais diretas. Sempre que aparecer \exp(1/z) ou séries parecidas, pense em séries de Laurent e procure o coeficiente a_{-1}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi i}{3}

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