Use o teorema dos resíduos de Cauchy (Seção 76) para calcular a integral de cada uma dessas funções ao longo do círculo
no sentido positivo.
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral ao longo do círculo
no sentido positivo da função
Informações dadas e observações imediatas:
portanto há pontos singulares em
e
. O contorno é o círculo
orientado positivamente; ambos os pontos
e
satisfazem
e
, ou seja, ambos estão dentro do contorno. Não farei ainda nenhum cálculo numérico neste passo, só listei os dados e os pontos relevantes.
Passo 2
Enunciando a ferramenta que vamos usar (com explicação didática): o Teorema dos Resíduos diz que, se
é meromorfa dentro e sobre um contorno fechado simples
exceto por um número finito de pólos isolados
interior a
, então
O que é
? É o coeficiente de
na expansão em série de Laurent de
em torno de
. Na prática, para pólos simples (ou seja, quando a singularidade é do tipo
localmente) existe uma fórmula muito conveniente:
Vou usar essa fórmula porque, como veremos, as singularidades aqui são pólos simples.
Passo 3
Classificação das singularidades (passo a passo): o denominador
é produto de dois fatores lineares distintos. Isso significa que em
e em
o fator correspondente aparece com multiplicidade
. Se o numerador não anula cancelando o fator, então cada singularidade é um pólo simples. Verifico rapidamente:
- Em
o numerador vale . - Em
o numerador vale .
Logo ambos são pólos simples e podemos aplicar a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Cálculo da contribuição em
(resíduo em
):
Usando a fórmula para pólo simples,
Usando a fórmula para pólo simples,
Simplifico dentro do limite:
Agora avalio o limite:
Portanto
Passo 5
Cálculo da contribuição em
(resíduo em
):
Usando a mesma fórmula,
Usando a mesma fórmula,
Simplifico:
Agora avalio em
:
Logo
Passo 6
Somando as contribuições internas e aplicando o Teorema dos Resíduos:
Soma dos resíduos dentro de é
Soma dos resíduos dentro de
Pelo Teorema dos Resíduos,
Mandando um incentivo: beleza — chegamos ao resultado de forma direta. No exame, identifique os pólos, calcule cada resíduo com a fórmula do pólo simples e some; é um padrão que aparece muito.