Use o teorema dos resíduos de Cauchy (Seção 76) para calcular a integral de cada uma dessas funções ao longo do círculo |z|=3 no sentido positivo.
\frac{z+1}{z^{2}-2 z}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral ao longo do círculo |z|=3 no sentido positivo da função
\frac{z+1}{z^{2}-2z}.
Informações dadas e observações imediatas:
\frac{z+1}{z^{2}-2z}=\frac{z+1}{z(z-2)},
portanto há pontos singulares em z=0 e z=2. O contorno é o círculo |z|=3 orientado positivamente; ambos os pontos z=0 e z=2 satisfazem |0|=0<3 e |2|=2<3, ou seja, ambos estão dentro do contorno. Não farei ainda nenhum cálculo numérico neste passo, só listei os dados e os pontos relevantes.

Passo 2

Enunciando a ferramenta que vamos usar (com explicação didática): o Teorema dos Resíduos diz que, se f é meromorfa dentro e sobre um contorno fechado simples C exceto por um número finito de pólos isolados a_k interior a C, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}(f,a_k).
O que é \operatorname{Res}(f,a)? É o coeficiente de (z-a)^{-1} na expansão em série de Laurent de f em torno de a. Na prática, para pólos simples (ou seja, quando a singularidade é do tipo \dfrac{\text{número não nulo}}{z-a}úã localmente) existe uma fórmula muito conveniente:
\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).
Vou usar essa fórmula porque, como veremos, as singularidades aqui são pólos simples.

Passo 3

Classificação das singularidades (passo a passo): o denominador z(z-2) é produto de dois fatores lineares distintos. Isso significa que em z=0 e em z=2 o fator correspondente aparece com multiplicidade 1. Se o numerador não anula cancelando o fator, então cada singularidade é um pólo simples. Verifico rapidamente:
  • Em z=0 o numerador vale 0+1=1\neq 0.
  • Em z=2 o numerador vale 2+1=3\neq 0.
    Logo ambos são pólos simples e podemos aplicar a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Cálculo da contribuição em z=0 (resíduo em 0):
Usando a fórmula para pólo simples,
\operatorname{Res}\biggl(\frac{z+1}{z(z-2)},0\biggr)=\lim_{z\to 0} z\cdot\frac{z+1}{z(z-2)}.
Simplifico dentro do limite:
z\cdot\frac{z+1}{z(z-2)}=\frac{z+1}{z-2}.
Agora avalio o limite:
\lim_{z\to 0}\frac{z+1}{z-2}=\frac{0+1}{0-2}=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
\operatorname{Res}\biggl(\frac{z+1}{z(z-2)},0\biggr)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Cálculo da contribuição em z=2 (resíduo em 2):
Usando a mesma fórmula,
\operatorname{Res}\biggl(\frac{z+1}{z(z-2)},2\biggr)=\lim_{z\to 2} (z-2)\cdot\frac{z+1}{z(z-2)}.
Simplifico:
(z-2)\cdot\frac{z+1}{z(z-2)}=\frac{z+1}{z}.
Agora avalio em z=2:
\lim_{z\to 2}\frac{z+1}{z}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}.
Logo
\operatorname{Res}\biggl(\frac{z+1}{z(z-2)},2\biggr)=\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Somando as contribuições internas e aplicando o Teorema dos Resíduos:
Soma dos resíduos dentro de |z|=3 é
-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=1.
Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{|z|=3}\frac{z+1}{z^{2}-2z}\,dz = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i.
Mandando um incentivo: beleza — chegamos ao resultado de forma direta. No exame, identifique os pólos, calcule cada resíduo com a fórmula do pólo simples e some; é um padrão que aparece muito.

Resposta

2\pi i

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