Exemplo 3. Seja
definida por
quando
é racional e
quando
é irracional. Dado qualquer
, podemos obter uma seqüência de números racionais
e uma seqüência de números irracionais
com
. Então
e
1, logo não existe
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
Também afirma que, para qualquer
com
e
, e uma sequência de irracionais
com
e
.
A pergunta implícita é: mostrar que
não existe para qualquer
. Ou seja, provar que a função não tem limite em nenhum ponto real.]
Passo 2
Definição útil (critério sequencial de limite). Vou explicar devagar porque isso é o que usamos aqui.
- Dizemos que
se, intuitivamente, quando se aproxima de (mas ), fica tão perto de quanto quisermos. - Um critério prático e muito usado é o critério sequencial:
se, e somente se, para toda sequência com e vale .
Explicando: isso significa que, para mostrar que um limite existe, basta verificar que qualquer sequência que tende a
dá o mesmo valor limite para
. E — atenção — para mostrar que um limite NÃO existe, basta encontrar duas sequências que tendem a
mas cujos limites das imagens por
sejam diferentes. Esse é o plano aqui.
Passo 3
Construção de uma sequência de racionais que converge para
(prova da densidade dos racionais, de forma prática).
Uma forma simples e concreta de obter racionais que aproximam
é usar truncamentos decimais de
.
Escreva a expansão decimal de
(se for periódico ou tiver terminações dá para tratar, mas não precisamos entrar nisso). Para cada
, defina
como o número que coincide com
até a
-ésima casa decimal e corta o resto (ou seja, o truncamento decimal de
com
casas). Então:
- Cada
é racional (todo número com representação decimal finita ou periódica é racional). - Se
não tiver representação decimal finita, para todo ; se for racional com representação finita, podemos escolher truncamentos com uma convenção que garanta (por exemplo, truncar antes da casa em que termina a representação finita e depois sempre acrescentar zeros — ainda obteremos para menores; ou simplesmente escolher outra construção como quando isso der racionais; mas o truncamento já resolve a maioria dos casos). - Em qualquer caso,
porque truncamentos decrescem a diferença para .
Portanto existe uma sequência de racionais
tal que
e
.
Passo 4
Construção de uma sequência de irracionais que converge para
(prova da densidade dos irracionais, de forma construtiva).
Uma maneira limpa de mostrar que os irracionais são densos é usar um número irracional fixo, por exemplo
, e a densidade dos racionais já estabelecida:
- Considere o número
. Pelos resultados do passo anterior (densidade dos racionais), existe uma sequência de racionais tal que e para todo . - Defina
. Então: - Cada
é irracional, porque soma de racional com irracional é irracional. -
. - E
para todo , porque .
- Cada
Assim obtemos uma sequência de irracionais
com
e
. Isso prova de forma direta a densidade dos irracionais.
(Dica rápida: a ideia é sempre “deslocar” a densidade dos racionais por um irracional para obter irracionais próximos a qualquer ponto.)
Passo 5
Aplicar o critério sequencial ao nosso
.
Agora use as sequências construídas:
-
Para a sequência de racionais
do passo 3 temos racional para todo . Pela definição de , Logo. -
Para a sequência de irracionais
do passo 4 temos irracional para todo . Pela definição de , Logo.
Temos duas sequências que ambas convergem para
, mas as imagens por
convergem para valores diferentes (0 e 1). Pelo critério sequencial isso impede a existência de um único limite
tal que todas as sequências
tivessem
. Portanto
não existe.
Passo 6
Versão alternativa e rápida (epsilon–delta, para a prova na prova).
Se preferir um argumento direto com a definição epsilon–delta:
- Suponha, por contradição, que exista
tal que . - Tome
. Pela definição de limite, existe tal que, para todo com , vale . - Mas no intervalo
existem racionais e irracionais diferentes de (densidade de racionais e irracionais). Para um racional teremos , e para uma irracional teremos . Assim pelo menos um desses está a distância de : não é possível que tanto quanto ao mesmo tempo, porque isso exigiria contraditório (mais direto: se ambos fossem <1/2 então , impossível). Logo a condição do limite falha. Contradição. Assim não existe limite.
Esse argumento é curto e muito apropriado para uma prova formal.
Resposta
Não existe
para qualquer
.