Exemplo 3. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=0 quando x é racional e f(x)=1 quando x é irracional. Dado qualquer a \in \mathbb{R}, podemos obter uma seqüência de números racionais x_{n} \neq a e uma seqüência de números irracionais y_{n} \neq a com \lim x_{n}=\lim y_{n}=a. Então \lim f\left(x_{n}\right)=0 e \lim f\left(y_{n}\right)= 1, logo não existe \lim _{x \rightarrow a} f(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)=\begin{cases} 0, & \text{se } x \text{ é racional},\\[4pt] 1, & \text{se } x \text{ é irracional}. \end{cases}
Também afirma que, para qualquer a\in\mathbb{R}\], existem uma sequência de racionais \((x_n) com x_n\neq a e \lim_{n\to\infty}x_n=a, e uma sequência de irracionais (y_n) com y_n\neq a e \lim_{n\to\infty}y_n=a.
A pergunta implícita é: mostrar que \lim_{x\to a} f(x) não existe para qualquer a\in\mathbb{R}. Ou seja, provar que a função não tem limite em nenhum ponto real.]

Passo 2

Definição útil (critério sequencial de limite). Vou explicar devagar porque isso é o que usamos aqui.
  • Dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=L se, intuitivamente, quando x se aproxima de a (mas x\neq a), f(x) fica tão perto de L quanto quisermos.
  • Um critério prático e muito usado é o critério sequencial: \lim_{x\to a} f(x)=L se, e somente se, para toda sequência (z_n) com z_n\neq a e \lim_{n\to\infty} z_n=a vale \lim_{n\to\infty} f(z_n)=L.
Explicando: isso significa que, para mostrar que um limite existe, basta verificar que qualquer sequência que tende a a dá o mesmo valor limite para f(z_n). E — atenção — para mostrar que um limite NÃO existe, basta encontrar duas sequências que tendem a a mas cujos limites das imagens por f sejam diferentes. Esse é o plano aqui.

Passo 3

Construção de uma sequência de racionais que converge para a (prova da densidade dos racionais, de forma prática).
Uma forma simples e concreta de obter racionais que aproximam a é usar truncamentos decimais de a.
Escreva a expansão decimal de a (se for periódico ou tiver terminações dá para tratar, mas não precisamos entrar nisso). Para cada n\ge1, defina x_n como o número que coincide com a até a n-ésima casa decimal e corta o resto (ou seja, o truncamento decimal de a com n casas). Então:
  • Cada x_n é racional (todo número com representação decimal finita ou periódica é racional).
  • Se a não tiver representação decimal finita, x_n\neq a para todo n; se a for racional com representação finita, podemos escolher truncamentos com uma convenção que garanta x_n\neq a (por exemplo, truncar antes da casa em que termina a representação finita e depois sempre acrescentar zeros — ainda obteremos x_n\neq a para n menores; ou simplesmente escolher outra construção como x_n=a+\dfrac{1}{n} quando isso der racionais; mas o truncamento já resolve a maioria dos casos).
  • Em qualquer caso, \lim_{n\to\infty} x_n = a porque truncamentos decrescem a diferença para 0.
Portanto existe uma sequência de racionais (x_n) tal que x_n\neq a e \lim x_n=a.

Passo 4

Construção de uma sequência de irracionais que converge para a (prova da densidade dos irracionais, de forma construtiva).
Uma maneira limpa de mostrar que os irracionais são densos é usar um número irracional fixo, por exemplo u=\sqrt{2}, e a densidade dos racionais já estabelecida:
  • Considere o número a-u. Pelos resultados do passo anterior (densidade dos racionais), existe uma sequência de racionais (r_n) tal que \lim_{n\to\infty} r_n = a-u e r_n\neq a-u para todo n.
  • Defina y_n = r_n + u. Então:
    • Cada y_n é irracional, porque soma de racional com irracional é irracional.
    • \lim_{n\to\infty} y_n = \lim (r_n+u) = (a-u)+u = a.
    • E y_n\neq a para todo n, porque r_n\neq a-u.
Assim obtemos uma sequência de irracionais (y_n) com y_n\neq a e \lim y_n=a. Isso prova de forma direta a densidade dos irracionais.
(Dica rápida: a ideia é sempre “deslocar” a densidade dos racionais por um irracional para obter irracionais próximos a qualquer ponto.)

Passo 5

Aplicar o critério sequencial ao nosso f.
Agora use as sequências construídas:
  • Para a sequência de racionais (x_n) do passo 3 temos x_n racional para todo n. Pela definição de f,
    f(x_n)=0\quad\text{para todo }n.
    Logo \lim_{n\to\infty} f(x_n)=0.
  • Para a sequência de irracionais (y_n) do passo 4 temos y_n irracional para todo n. Pela definição de f,
    f(y_n)=1\quad\text{para todo }n.
    Logo \lim_{n\to\infty} f(y_n)=1.
Temos duas sequências que ambas convergem para a, mas as imagens por f convergem para valores diferentes (0 e 1). Pelo critério sequencial isso impede a existência de um único limite L tal que todas as sequências z_n\to a tivessem f(z_n)\to L. Portanto \lim_{x\to a} f(x) não existe.

Passo 6

Versão alternativa e rápida (epsilon–delta, para a prova na prova).
Se preferir um argumento direto com a definição epsilon–delta:
  • Suponha, por contradição, que exista L tal que \lim_{x\to a} f(x)=L.
  • Tome \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Pela definição de limite, existe \delta>0 tal que, para todo x com 0<|x-a|<\delta, vale |f(x)-L|<\tfrac{1}{2}.
  • Mas no intervalo (a-\delta,a+\delta) existem racionais q e irracionais t diferentes de a (densidade de racionais e irracionais). Para um racional q teremos f(q)=0, e para uma irracional t teremos f(t)=1. Assim pelo menos um desses está a distância \ge\tfrac{1}{2} de L: não é possível que tanto |0-L|<\tfrac{1}{2} quanto |1-L|<\tfrac{1}{2} ao mesmo tempo, porque isso exigiria |0-1|<1 contraditório (mais direto: se ambos fossem <1/2 então |0-1|\le|0-L|+|L-1|<1, impossível). Logo a condição do limite falha. Contradição. Assim não existe limite.
Esse argumento é curto e muito apropriado para uma prova formal.

Resposta

Não existe \lim_{x\to a} f(x) para qualquer a\in\mathbb{R}.

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