EXEMPLO 1. Seja f: A \rightarrow B uma função e vamos definir uma relação de equivalência no domínio A da f, do seguinte modo:
x, x^{\prime} \in A, x \sim x^{\prime} \text { se } f(x)=f\left(x^{\prime}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá claramente a função f: A \to B e define uma relação \sim em A por:
x, x' \in A,\quad x \sim x' \text{ se } f(x)=f(x').
As perguntas que normalmente este enunciado pede (e que eu vou responder passo a passo) são:
  • (a) Mostrar que \sim é uma relação de equivalência em A.
  • (b) Descrever explicitamente a classe de equivalência de um elemento x\in A.
  • (c) Explicar como as classes de equivalência particionam A (propriedades de partição: união e disjunção).
  • (d) Mostrar a relação entre o conjunto quociente A/{\sim} (conjunto de classes) e a imagem \,f(A), construindo a aplicação natural entre eles e provar que ela é bijetora; apresentar a fatoração de f via essa bijeção e a projeção canônica.
Vou tratar cada um desses itens com detalhes e motivando os conceitos usados.

Passo 2

Provar que \sim é relação de equivalência — definição e checagem das três propriedades.
Primeiro, recordar o que significa ser relação de equivalência. Uma relação binária \sim em A é equivalência se satisfaz três propriedades:
  • Reflexiva: para todo x\in A, x\sim x.
  • Simétrica: para todo x,y\in A, se x\sim y então y\sim x.
  • Transitiva: para todo x,y,z\in A, se x\sim y e y\sim z então x\sim z.
Agora verifico cada propriedade para a relação dada.
Reflexiva: para qualquer x\in A temos f(x)=f(x) trivialmente, portanto x\sim x. Assim a relação é reflexiva.
Simétrica: suponha x,y\in A com x\sim y. Por definição isso significa f(x)=f(y). Igualdade é simétrica, então f(y)=f(x), logo y\sim x. Assim a relação é simétrica.
Transitiva: suponha x,y,z\in A com x\sim y e y\sim z. Então f(x)=f(y) e f(y)=f(z). Pela transitividade da igualdade obtemos f(x)=f(z), logo x\sim z. Assim a relação é transitiva.
Como as três propriedades valem, concluímos que \sim é uma relação de equivalência em A.

Passo 3

Descrever a classe de equivalência de um elemento x\in A e interpretar como fibra do f.
Definição: a classe de equivalência de x é o conjunto
[x] \;=\; \{\,x' \in A \mid x'\sim x\,\}.
Pela definição de \sim isso equivale a
[x] \;=\; \{\,x' \in A \mid f(x') = f(x)\,\}.
Outra forma de escrever isso, usando pré-imagem, é
[x] \;=\; f^{-1}\big(\{\,f(x)\,\}\big),
ou seja, a classe de x é exatamente a fibra de f sobre o ponto f(x). Em palavras: a classe de x contém todos os elementos de A que têm mesmo valor pela aplicação f.
Exemplo rápido e concreto para fixar a ideia: se A=\{1,2,3,4\} e f(1)=f(3)=a, f(2)=b, f(4)=a, então
[1]=[3]=[4]=\{1,3,4\},\qquad [2]=\{2\}.

Passo 4

Mostrar que as classes formam uma partição de A: cobertura e disjunção.
Cobertura: cada x\in A pertence a sua classe [x], então
\bigcup_{x\in A} [x] = A.
Logo a união das classes é todo A.
Disjunção (ou classes são ou iguais ou disjuntas): provarei que, se [x]\cap [y]\neq\varnothing, então [x]=[y].
Prova: suponha z\in [x]\cap [y]. Então f(z)=f(x) e f(z)=f(y). Assim f(x)=f(y), logo por definição x\sim y. Agora pegue u\in [x]. Então f(u)=f(x)=f(y), portanto u\in[y]. Assim [x]\subseteq[y]. Trocar os papéis de x e y [y]\subseteq[x]. Consequentemente [x]=[y]. Isso mostra que duas classes que intersectam são iguais — equivalente a dizer que as classes são disjuntas ou coincidentes. Portanto as classes de equivalência formam uma partição de A.

Passo 5

Definir o conjunto quociente A/{\sim} e a projeção canônica; provar que existe uma bijeção natural entre A/{\sim} e \,f(A).
Definição: o conjunto quociente (conjunto de classes) é
A/{\sim} \;=\; \{\, [x] \mid x\in A\,\}.
Projeção canônica: define-se \pi: A \to A/{\sim} por
\pi(x) = [x].
Observação: \pi é sobrejetora por construção, pois toda classe é imagem de qualquer representante.
Agora quero relacionar A/{\sim} com a imagem de f, que é \,f(A)=\{\,f(x)\mid x\in A\,\}.
Defina \tilde f: A/{\sim} \to f(A) por
\tilde f([x]) = f(x).
Preciso checar duas coisas importantes: (i) \tilde f está bem-definida; (ii) \tilde f é bijetora.
(i) Bem-definida: quando definimos uma função por classes, devemos garantir que o valor não dependa do representante escolhido. Se [x]=[y] então x\sim y, o que significa f(x)=f(y). Portanto \tilde f([x])=f(x)=f(y)=\tilde f([y]). Assim \tilde f é bem-definida.
(ii) Injetividade: suponha \tilde f([x])=\tilde f([y]). Isso significa f(x)=f(y). Pela definição de \sim isso implica x\sim y, assim [x]=[y]. Logo \tilde f é injetora.
(iii) Sobrejetividade: por definição de f(A), para qualquer b\in f(A) existe x\in A com f(x)=b. Então b=\tilde f([x]). Logo \tilde f é sobrejetora.
Como \tilde f é injetora e sobrejetora, é bijetora. Conclusão: existe uma bijeção natural
\tilde f : A/{\sim} \longrightarrow f(A)
que envia cada classe [x] ao elemento f(x) da imagem.

Passo 6

Fatoração de f em surjeção seguida de bijeção e inclusão injetora — interpretação estrutural útil para provas/funções.
Usando a projeção \pi: A\to A/{\sim}, a bijeção \tilde f: A/{\sim}\to f(A) e a inclusão natural i: f(A)\hookrightarrow B, obtemos a fatoração
f \;=\; i \circ \tilde f \circ \pi.
Verificação direta no ponto x\in A:
(i\circ \tilde f \circ \pi)(x) = i\big(\tilde f(\pi(x))\big) = i\big(\tilde f([x])\big) = i(f(x)) = f(x).
Aqui \pi é sobrejetora, \tilde f é bijetora e i é injetora. Esse fatoramento é importante: ele mostra que toda função pode ser vista como uma projeção para classes (identificando pontos que têm a mesma imagem), seguida por uma bijeção com a imagem e pela inclusão dessa imagem em B. Em linguagem categórica, é a decomposição canônica de f em epi-iso-mono (surjeção — bijeção — injeção).
Única-idade: a aplicação \tilde f com \tilde f([x])=f(x) é a única que torna comutativo o diagrama \tilde f\circ\pi = f (ou seja, qualquer outra aplicação g: A/{\sim}\to f(A) com g\circ\pi=f deve coincidir com \tilde f). A prova é simples: se g\circ\pi=f então para qualquer x tem g([x])=g(\pi(x))=f(x)=\tilde f([x]), logo g=\tilde f.

Passo 7

Recapitulando em linguagem de prova curta (útil para a hora da prova) e lembretes práticos.
  • A relação x\sim x' iff f(x)=f(x') é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é equivalência.
  • A classe de x é [x]=\{x'\in A\mid f(x')=f(x)\}=f^{-1}(\{f(x)\}).
  • As classes particionam A: cada elemento pertence à sua classe; classes diferentes são disjuntas.
  • A projeção \pi: A\to A/{\sim}, \pi(x)=[x], é sobrejetora.
  • A função bem-definida \tilde f: A/{\sim}\to f(A), \tilde f([x])=f(x), é bijetora.
  • Fatoração canônica: f = i\circ\tilde f\circ\pi, com \pi sobrejetora, \tilde f bijetora e i injetora.
  • Dica prática para a prova: ao ver essa definição de relação por igualdade de imagens, a primeira coisa a checar é reflexividade/simetria/transitividade; depois escreva [x]=f^{-1}(\{f(x)\}) e explique bem-definição da aplicação do quociente para f(A).

Resposta

\sim é uma relação de equivalência em A.\n [x]=\{x'\in A \mid f(x')=f(x)\}=f^{-1}(\{f(x)\}).\nAs classes de equivalência formam uma partição de A.\nA projeção \pi:A\to A/{\sim}, \pi(x)=[x], é sobrejetora e existe uma bijeção bem-definida \tilde f:A/{\sim}\to f(A) dada por \tilde f([x])=f(x).\nA fatoração canônica é f = i\circ\tilde f\circ\pi, onde i:f(A)\hookrightarrow B é a inclusão.

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