EXEMPLO 1. Seja
uma função e vamos definir uma relação de equivalência no domínio
da
, do seguinte modo:
Passo 1
O enunciado nos dá claramente a função
e define uma relação
em
por:
As perguntas que normalmente este enunciado pede (e que eu vou responder passo a passo) são:
- (a) Mostrar que
é uma relação de equivalência em . - (b) Descrever explicitamente a classe de equivalência de um elemento
. - (c) Explicar como as classes de equivalência particionam
(propriedades de partição: união e disjunção). - (d) Mostrar a relação entre o conjunto quociente
(conjunto de classes) e a imagem , construindo a aplicação natural entre eles e provar que ela é bijetora; apresentar a fatoração de via essa bijeção e a projeção canônica.
Vou tratar cada um desses itens com detalhes e motivando os conceitos usados.
Passo 2
Provar que
é relação de equivalência — definição e checagem das três propriedades.
Primeiro, recordar o que significa ser relação de equivalência. Uma relação binária
em
é equivalência se satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: para todo
, . - Simétrica: para todo
, se então . - Transitiva: para todo
, se e então .
Agora verifico cada propriedade para a relação dada.
Reflexiva: para qualquer
temos
trivialmente, portanto
. Assim a relação é reflexiva.
Simétrica: suponha
com
. Por definição isso significa
. Igualdade é simétrica, então
, logo
. Assim a relação é simétrica.
Transitiva: suponha
com
e
. Então
e
. Pela transitividade da igualdade obtemos
, logo
. Assim a relação é transitiva.
Como as três propriedades valem, concluímos que
é uma relação de equivalência em
.
Passo 3
Descrever a classe de equivalência de um elemento
e interpretar como fibra do
.
Definição: a classe de equivalência de
é o conjunto
Pela definição de
isso equivale a
Outra forma de escrever isso, usando pré-imagem, é
ou seja, a classe de
é exatamente a fibra de
sobre o ponto
. Em palavras: a classe de
contém todos os elementos de
que têm mesmo valor pela aplicação
.
Exemplo rápido e concreto para fixar a ideia: se
e
,
,
, então
Passo 4
Mostrar que as classes formam uma partição de
: cobertura e disjunção.
Cobertura: cada
pertence a sua classe
, então
Logo a união das classes é todo
.
Disjunção (ou classes são ou iguais ou disjuntas): provarei que, se
, então
.
Prova: suponha
. Então
e
. Assim
, logo por definição
. Agora pegue
. Então
, portanto
. Assim
. Trocar os papéis de
e
dá
. Consequentemente
. Isso mostra que duas classes que intersectam são iguais — equivalente a dizer que as classes são disjuntas ou coincidentes. Portanto as classes de equivalência formam uma partição de
.
Passo 5
Definir o conjunto quociente
e a projeção canônica; provar que existe uma bijeção natural entre
e
.
Definição: o conjunto quociente (conjunto de classes) é
Projeção canônica: define-se
por
Observação:
é sobrejetora por construção, pois toda classe é imagem de qualquer representante.
Agora quero relacionar
com a imagem de
, que é
.
Defina
por
Preciso checar duas coisas importantes: (i)
está bem-definida; (ii)
é bijetora.
(i) Bem-definida: quando definimos uma função por classes, devemos garantir que o valor não dependa do representante escolhido. Se
então
, o que significa
. Portanto
. Assim
é bem-definida.
(ii) Injetividade: suponha
. Isso significa
. Pela definição de
isso implica
, assim
. Logo
é injetora.
(iii) Sobrejetividade: por definição de
, para qualquer
existe
com
. Então
. Logo
é sobrejetora.
Como
é injetora e sobrejetora, é bijetora. Conclusão: existe uma bijeção natural
que envia cada classe
ao elemento
da imagem.
Passo 6
Fatoração de
em surjeção seguida de bijeção e inclusão injetora — interpretação estrutural útil para provas/funções.
Usando a projeção
, a bijeção
e a inclusão natural
, obtemos a fatoração
Verificação direta no ponto
:
Aqui
é sobrejetora,
é bijetora e
é injetora. Esse fatoramento é importante: ele mostra que toda função pode ser vista como uma projeção para classes (identificando pontos que têm a mesma imagem), seguida por uma bijeção com a imagem e pela inclusão dessa imagem em
. Em linguagem categórica, é a decomposição canônica de
em epi-iso-mono (surjeção — bijeção — injeção).
Única-idade: a aplicação
com
é a única que torna comutativo o diagrama
(ou seja, qualquer outra aplicação
com
deve coincidir com
). A prova é simples: se
então para qualquer
tem
, logo
.
Passo 7
Recapitulando em linguagem de prova curta (útil para a hora da prova) e lembretes práticos.
- A relação
iff é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é equivalência. - A classe de
é . - As classes particionam
: cada elemento pertence à sua classe; classes diferentes são disjuntas. - A projeção
, , é sobrejetora. - A função bem-definida
, , é bijetora. - Fatoração canônica:
, com sobrejetora, bijetora e injetora. - Dica prática para a prova: ao ver essa definição de relação por igualdade de imagens, a primeira coisa a checar é reflexividade/simetria/transitividade; depois escreva
e explique bem-definição da aplicação do quociente para .