Resolva o problema de valor inicial.
x^{2} y^{\prime}+2 x y=\ln x, \quad y(1)=2

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada a equação diferencial com condição inicial:
x^{2}y'(x)+2x y(x)=\ln x,\qquad y(1)=2.
  • Informação explícita que vou usar: há \ln x no lado direito, então a variável x precisa ser positiva para a expressão estar bem definida; o ponto inicial x=1 confirma que estamos no ramo x>0.
  • O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x>0 e que verifica y(1)=2.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão e justificar operações.
  • Primeiro escrevo a derivada como y'(x)=\dfrac{dy}{dx}. Todas as letras x e y aqui são as variáveis independentes e dependentes usuais: y é função de x.
  • Divido ambos os lados por x^{2} (válido porque x\neq0; de fato trabalhamos com x>0):
y'(x)+\frac{2x}{x^{2}}y(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}.
  • Simplificando \dfrac{2x}{x^{2}}=\dfrac{2}{x}, obtenho a forma padrão
y'(x)+\frac{2}{x}y(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}.
  • Nesta forma padrão, a equação é do tipo y'+P(x)y=Q(x) com P(x)=\dfrac{2}{x} e Q(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}}. A técnica natural aqui é usar um fator integrante (integrating factor) para transformar o lado esquerdo numa derivada exata.

Passo 3

Calcular o fator integrante e transformar a equação.
  • O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right).
  • Calculo a integral \int \dfrac{2}{x}\,dx=2\ln x. Assim
\mu(x)=\exp(2\ln x).
  • Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais, \exp(2\ln x)=\big(\exp(\ln x)\big)^{2}=x^{2}. Portanto \mu(x)=x^{2}.
  • Multiplico a equação padrão por \mu(x)=x^{2}:
x^{2}y'(x)+2x y(x)=\ln x.
  • Observação útil: o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x)=x^{2}y(x), pois por regra do produto
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y(x)\big)=x^{2}y'(x)+2x y(x).
  • Logo a equação fica compacta:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y(x)\big)=\ln x.

Passo 4

Integrar para obter y(x); explicar a integral usada.
  • Integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{2}y(x)\big)\,dx=\int \ln x\,dx.
  • O lado esquerdo integra diretamente para x^{2}y(x) mais constante; no lado direito preciso calcular \int \ln x\,dx. Faço por integração por partes: escolha u=\ln x e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx e v=x.
  • A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv-\int v\,du. Aplicando:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.
  • Portanto da integração obtemos
x^{2}y(x) = x\ln x - x + C,
onde C é a constante de integração.
  • Isolo y(x) dividindo por x^{2} (novamente x>0):
y(x)=\frac{x\ln x - x + C}{x^{2}}.
  • Posso reescrever de forma mais clara separando os termos:
y(x)=\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}+\frac{C}{x^{2}}.
  • Ou, de maneira compacta,
y(x)=\frac{\ln x -1}{x}+\frac{C}{x^{2}}.

Passo 5

Determinar a constante C usando a condição inicial.
  • A condição é y(1)=2. Substituo x=1 na expressão encontrada. Lembro que \ln 1=0.
  • Substituição:
y(1)=\frac{\ln 1 -1}{1}+\frac{C}{1^{2}} = (0-1)+C = -1 + C.
  • Igualando a condição inicial y(1)=2 obtém-se
-1 + C = 2 \quad\Rightarrow\quad C=3.

Passo 6

Escrever a solução final e comentar domínio.
  • Substituindo C=3 na expressão geral:
y(x)=\frac{\ln x -1}{x}+\frac{3}{x^{2}}.
  • Alternativamente, em forma única:
y(x)=\frac{x\ln x -x +3}{x^{2}}.
  • Lembrando que essa solução foi obtida assumindo x>0 (necessário por \ln x e pela divisão por x^{2}), e é válida para x>0. A condição inicial em x=1 está dentro desse domínio.

Resposta

y(x)=\frac{\ln x -1}{x}+\frac{3}{x^{2}}

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