Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dada a equação diferencial com condição inicial:
- Informação explícita que vou usar: há
no lado direito, então a variável precisa ser positiva para a expressão estar bem definida; o ponto inicial confirma que estamos no ramo . - O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para e que verifica .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão e justificar operações.
- Primeiro escrevo a derivada como
. Todas as letras e aqui são as variáveis independentes e dependentes usuais: é função de . - Divido ambos os lados por
(válido porque ; de fato trabalhamos com ):
- Simplificando
, obtenho a forma padrão
- Nesta forma padrão, a equação é do tipo
com e . A técnica natural aqui é usar um fator integrante (integrating factor) para transformar o lado esquerdo numa derivada exata.
Passo 3
Calcular o fator integrante e transformar a equação.
- O fator integrante
é dado por
- Calculo a integral
. Assim
- Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais,
. Portanto . - Multiplico a equação padrão por
:
- Observação útil: o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois por regra do produto
- Logo a equação fica compacta:
Passo 4
Integrar para obter
; explicar a integral usada.
- Integro ambos os lados em relação a
:
- O lado esquerdo integra diretamente para
mais constante; no lado direito preciso calcular . Faço por integração por partes: escolha e . Então e . - A fórmula de integração por partes é
. Aplicando:
- Portanto da integração obtemos
onde
é a constante de integração.
- Isolo
dividindo por (novamente ):
- Posso reescrever de forma mais clara separando os termos:
- Ou, de maneira compacta,
Passo 5
Determinar a constante
usando a condição inicial.
- A condição é
. Substituo na expressão encontrada. Lembro que . - Substituição:
- Igualando a condição inicial
obtém-se
Passo 6
Escrever a solução final e comentar domínio.
- Substituindo
na expressão geral:
- Alternativamente, em forma única:
- Lembrando que essa solução foi obtida assumindo
(necessário por e pela divisão por ), e é válida para . A condição inicial em está dentro desse domínio.