Determine a equação da reta tangente, em
, à curva de interseção da superficie
com o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a equação da reta tangente no ponto $ P = (1, 2, f(1,2)) $ à curva que é a interseção entre a superfície $ z = f(x, y) $ e o plano $ x = 1 $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente sobre retas tangentes a curvas de interseção de superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a derivada dessa curva e usar isso para escrever a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva de interseção entre a superfície $ z = f(x, y) $ e o plano $ x = 1 $. Quando a gente impõe $ x = 1 $ na equação da superfície, a curva fica restrita a esse plano. Ou seja, substituindo $ x = 1 $ na equação da superfície, temos $ z = f(1, y) $. Então, a curva de interseção é dada por $ (1, y, f(1, y)) $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto $ P = (1, 2, f(1,2)) $. Para isso, precisamos calcular a derivada da função $ f(1, y) $ em relação a $ y $ no ponto $ y = 2 $. Essa derivada representa a inclinação da curva no ponto específico.
Matematicamente, a derivada é:
Aqui, $ \frac{\partial f}{\partial y} $ é a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $.
Passo 4
Com a derivada calculada, temos a inclinação da reta tangente. A equação da reta tangente pode ser escrita na forma paramétrica:
Onde $ t $ é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 5
Simplificando, a equação da reta tangente fica:
Aqui, o vetor $ \left(0, 1, \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{(1,2)}\right) $ é o vetor diretor da reta tangente.
Resposta
A equação da reta tangente no ponto $ P = (1, 2, f(1,2)) $ é dada por: