a) Dê um exemplo de uma sequência convergente. Dê um exemplo de uma sequência n divergente tal que S:=sumn=1^infty an para todo T:=sumn=1^infty bn.
b) Seja bk=k uma série convergente. O que se pode dizer sobre a convergência da série 1 <= k <= 100 onde bk=ak para k>100 e para todo ?

Passo 1

Neste exercício vamos trabalhar com convergência de sequências e séries numéricas. Para a parte a) precisamos aplicar a definição de limite de uma sequência e encontrar exemplos que satisfaçam as condições. Para a parte b) vamos usar o fato de que alterar um número finito de termos de uma série não afeta sua convergência e que, se uma série converge, seus termos tendem a zero.

Passo 2

Para dar um exemplo de sequência convergente, podemos escolher an = tfrac1n. Sabemos que limntoinfty tfrac1n = 0, logo a sequência converge para 0.

Passo 3

Para dar um exemplo de sequência divergente com |an|<=1, podemos usar an = (-1)^n. Note que |(-1)^n| = 1 para todo n, mas a sequência oscila entre 1 e -1, não tendo limite, portanto é divergente.

Passo 4

Na parte b), como a série S = sumn=1^infty an converge, concluímos que an to 0 e que a parte do somatório de n=101 até infty (o “tail”) também converge, pois é um sub-somatório de uma série convergente.

Passo 5

A série T = sumn=1^infty bn difere de S apenas nos primeiros 100 termos (que são finitos). Como adicionar ou trocar um número finito de termos não altera a convergência de uma série, concluímos que T também converge.

Resposta

a) Por exemplo, an=1/n é convergente (vai a 0) e an=(-1)^n é divergente com |an|<=1. b) A série T converge, pois difere de S apenas em um número finito de termos.

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