a) Dê um exemplo de uma sequência convergente. Dê um exemplo de uma sequência
divergente tal que
para todo
.
b) Seja
uma série convergente. O que se pode dizer sobre a convergência da série
onde
para
e
para todo
?
b) Seja
Passo 1
Neste exercício vamos trabalhar com convergência de sequências e séries numéricas. Para a parte a) precisamos aplicar a definição de limite de uma sequência e encontrar exemplos que satisfaçam as condições. Para a parte b) vamos usar o fato de que alterar um número finito de termos de uma série não afeta sua convergência e que, se uma série converge, seus termos tendem a zero.
Passo 2
Para dar um exemplo de sequência convergente, podemos escolher
. Sabemos que
, logo a sequência converge para 0.
Passo 3
Para dar um exemplo de sequência divergente com
, podemos usar
. Note que
para todo
, mas a sequência oscila entre 1 e -1, não tendo limite, portanto é divergente.
Passo 4
Na parte b), como a série
converge, concluímos que
e que a parte do somatório de
até
(o “tail”) também converge, pois é um sub-somatório de uma série convergente.
Passo 5
A série
difere de
apenas nos primeiros 100 termos (que são finitos). Como adicionar ou trocar um número finito de termos não altera a convergência de uma série, concluímos que
também converge.
Resposta
a) Por exemplo,
é convergente (vai a 0) e
é divergente com
. b) A série
converge, pois difere de
apenas em um número finito de termos.