Equação de Riccati. A equação
é conhecida como uma equação de Riccati. Suponha que alguma solução particular
dessa equação é conhecida. Uma solução geral contento uma constante arbitrária pode ser obtida através da substituição
E dadas as seguintes equações de Riccati, encontre a solução geral
, com
Passo 1
Estamos tratando da equação de Riccati
e conhecendo uma solução particular
. O objetivo é mostrar que a mudança de variável
leva a uma EDO linear em
dada por
, e depois aplicar isso à equação
com
para achar a solução geral.
Passo 2
Para deduzir a EDO de
, derivamos
:
. Por outro lado, o lado direito da Riccati fica
. Como
, igualando ambos os lados e multiplicando por
obtemos
.
Passo 3
Na equação específica
identificamos
,
e
. Verificamos que
é solução particular, pois
coincide com o RHS ao substituir
.
Passo 4
Substituindo em
temos
, que é uma EDO linear de primeira ordem.
Passo 5
Para resolver
, calculamos o fator integrante
. Multiplicando tudo por
obtemos
. Integrando,
, portanto
.
Passo 6
Voltando à substituição
, a solução geral fica
.