Equação de Riccati. A equação
d yd t=q1(t)+q2(t) y+q3(t) y^2
é conhecida como uma equação de Riccati. Suponha que alguma solução particular y1(t) dessa equação é conhecida. Uma solução geral contento uma constante arbitrária pode ser obtida através da substituição
y=y1(t)+1v(t), então mostre que v(t) satisfaz a edo d vd t=-(q2+2 q3 y1) v-q3 ã
E dadas as seguintes equações de Riccati, encontre a solução geral
d yd t=2 cos ^2(t)-sen^2(t)+y^22 cos (t), com y1(t)=sen(t)

Passo 1

Estamos tratando da equação de Riccati dydt=q1(t)+q2(t)y+q3(t)y^2 e conhecendo uma solução particular y1(t). O objetivo é mostrar que a mudança de variável y=y1(t)+tfrac1v(t) leva a uma EDO linear em v(t) dada por dvdt=-(q2+2q3y1)v-q3, e depois aplicar isso à equação dydt=2cos^2t-sin^2t+y^22cos t com y1(t)=sin t para achar a solução geral.

Passo 2

Para deduzir a EDO de v, derivamos y=y1+tfrac1v: dydt=y1'-1v^2dvdt. Por outro lado, o lado direito da Riccati fica q1+q2(y1+tfrac1v)+q3(y1+tfrac1v)^2=(q1+q2y1+q3y1^2)+q2+2q3y1v+q3v^2. Como y1'=q1+q2y1+q3y1^2, igualando ambos os lados e multiplicando por -v^2 obtemos dvdt=-(q2+2q3y1)v-q3.

Passo 3

Na equação específica dydt=2cos^2t-sin^2t+y^22cos t identificamos q3(t)=tfrac12cos t, q2(t)=0 e q1(t)=tfrac2cos^2t-sin^2t2cos t. Verificamos que y1(t)=sin t é solução particular, pois sin' t=cos t coincide com o RHS ao substituir y=sin t.

Passo 4

Substituindo em dvdt=-(q2+2q3y1)v-q3 temos dvdt=-(0+2tfrac12cos tsin t)v-tfrac12cos t=-tan t,v-tfrac12cos t, que é uma EDO linear de primeira ordem.

Passo 5

Para resolver dvdt+tan t,v=-tfrac12cos t, calculamos o fator integrante mu(t)=expl(integraltan t,dtr)=1/cos t. Multiplicando tudo por mu obtemos tfracddt(v,mu)=-tfrac12cos^2t. Integrando, vsec t=-tfrac12tan t+C, portanto v(t)=-tfrac12sin t+Ccos t.

Passo 6

Voltando à substituição y=y1+tfrac1v, a solução geral fica y(t)=sin t+1Ccos t-tfrac12sin t.

Resposta

y(t)=sin t+1Ccos t-tfrac12sin t

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