Seja
para
e
. Calcule o limite da sequência
quando:
i)
;
ii)
;
iii) A função
é contínua em
?
i)
ii)
iii) A função
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar a sequência formada por \{f(a_n)\} onde f(x)=\cos\bigl(1/x\bigr) para x>0 (e f(1)=1) em dois casos de a_n, e depois verificar a continuidade de f em x=0. O conteúdo principal aqui é cálculo de limite de sequência e definição de continuidade de função num ponto.
Passo 2
Para i) com a_n=1/(2n\pi), substituímos na f: \begin{align*}
f(a_n)&=\cos\Bigl(1/(1/(2n\pi))\Bigr)\
&=\cos\bigl(2n\pi\bigr).
\end{align*}\
Como \cos\bigl(2n\pi\bigr)=1 para todo n, a sequência é constante igual a 1. Logo o limite é 1.
f(a_n)&=\cos\Bigl(1/(1/(2n\pi))\Bigr)\
&=\cos\bigl(2n\pi\bigr).
\end{align*}\
Como \cos\bigl(2n\pi\bigr)=1 para todo n, a sequência é constante igual a 1. Logo o limite é 1.
Passo 3
Para ii) com a_n=1/\bigl((2n+1)\pi\bigr), fazemos o mesmo: \begin{align*}
f(a_n)&=\cos\Bigl(1/(1/((2n+1)\pi))\Bigr)\
&=\cos\bigl((2n+1)\pi\bigr).
\end{align*}\
E \cos\bigl((2n+1)\pi\bigr)=-1 para todo n, então a sequência é constante igual a -1. Logo o limite é -1.
f(a_n)&=\cos\Bigl(1/(1/((2n+1)\pi))\Bigr)\
&=\cos\bigl((2n+1)\pi\bigr).
\end{align*}\
E \cos\bigl((2n+1)\pi\bigr)=-1 para todo n, então a sequência é constante igual a -1. Logo o limite é -1.
Passo 4
Para iii) lembramos que f só seria contínua em x=0 se existisse \lim_{x\to0^+}f(x) e desse um valor único que pudéssemos igualar a f(0). Mas vimos nos itens i) e ii) que, se x se aproxima de zero pelas posições 1/(2n\pi) o valor tende a 1, e se aproxima pelas 1/((2n+1)\pi) tende a -1. Como esses dois limites são diferentes, não existe \lim_{x\to0^+}f(x). Portanto, f não é contínua em x=0.
Resposta
i) 1; ii) -1; iii) f não é contínua em x=0