Resolva as seguintes equações de Bernoulli
y^prime-y=e^x y^2

Passo 1

Resumimos o enunciado: temos a equação y' - y = e^x y^2, que é do tipo Bernoulli de expoente n = 2. Para resolver, vamos usar a forma geral de equações de Bernoulli e a substituição z = y^1-n.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão de Bernoulli y' + P(x)y = Q(x)y^n. Comparando, identificamos P(x) = -1, Q(x) = e^x e n = 2.

Passo 3

Fazemos a substituição z = y^1-n = y^-1. Derivando, obtemos z' = -y^-2y'.
Substituindo na equação original e simplificando, chegamos a uma equação linear em z:
z' + z = -e^x

Passo 4

Resolvendo essa linear: multiplicamos pelo fator integrante mu(x) = e^integral 1,dx = e^x e integramos:
(z e^x)' = -e^2x,
z e^x = -e^2x2 + C
Isolando z:
z = C e^-x - e^x2

Passo 5

Voltamos à variável y usando a relação y = 1/z.

Resposta

y = 1C e^-x - e^x2

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