Dê exemplo de uma seqüência
\left{a_{n}\right}, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
1.2I Dê exemplo de uma seqüência an não constante, crescente e limitada superiormente. Por observação de seus termos, estude o comportamento da seqüência quando n infty. Faça a mesma análise com uma seqüência decrescente e limitada inferiormente.

Passo 1

O enunciado pede dois exemplos de sequências não constantes: uma crescente e limitada superiormente, e outra decrescente e limitada inferiormente. Vamos usar o fato de que toda sequência monótona e limitada converge ao seu supremo (se crescente) ou ao seu ínfimo (se decrescente).

Passo 2

Escolhemos a sequência crescente limitada superiormente
an = 1 - 1n
Primeiro, note que para todo n>=1 vale
an+1-an = l(1 - 1n+1r) - l(1 - 1nr) = 1n - 1n+1 = 1n(n+1)>0,
logo an é crescente. Além disso, an<1 para todo n, então é limitada superiormente por 1. Pelo Teorema da Convergência Monótona,
limntoinftyan=supan=1

Passo 3

Escolhemos a sequência decrescente limitada inferiormente
bn = 1n
Para todo n>=1 temos
bn+1-bn = 1n+1-1n = -1n(n+1)<0,
logo bn é decrescente. Como bn>0 para todo n, ela é limitada inferiormente por 0. Pelo mesmo teorema,
limntoinftybn=infbn=0

Resposta

Exemplo crescente e limitada superiormente:
an = 1 - 1n, limntoinftyan=1
Exemplo decrescente e limitada inferiormente:
bn = 1n, limntoinftybn=0

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