Dê exemplo de uma seqüência
\left{a_{n}\right}, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
1.2I Dê exemplo de uma seqüência
não constante, crescente e limitada superiormente. Por observação de seus termos, estude o comportamento da seqüência quando
. Faça a mesma análise com uma seqüência decrescente e limitada inferiormente.
\left{a_{n}\right}, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
1.2I Dê exemplo de uma seqüência
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos de sequências não constantes: uma crescente e limitada superiormente, e outra decrescente e limitada inferiormente. Vamos usar o fato de que toda sequência monótona e limitada converge ao seu supremo (se crescente) ou ao seu ínfimo (se decrescente).
Passo 2
Escolhemos a sequência crescente limitada superiormente
Primeiro, note que para todo
vale
logo
é crescente. Além disso,
para todo
, então é limitada superiormente por
. Pelo Teorema da Convergência Monótona,
Passo 3
Escolhemos a sequência decrescente limitada inferiormente
Para todo
temos
logo
é decrescente. Como
para todo
, ela é limitada inferiormente por
. Pelo mesmo teorema,
Resposta
Exemplo crescente e limitada superiormente:
Exemplo decrescente e limitada inferiormente: