Dê um exemplo de uma sequência limitada que não seja uma seqüência de Cauchy. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede: “Dê um exemplo de uma sequência limitada que não seja uma sequência de Cauchy” e justifique por que a sequência escolhida é limitada e por que não é de Cauchy. Não há outros dados fornecidos.

Passo 2

Definição de sequência limitada (explicação didática): uma sequência (a_n)_{n\ge1} é limitada se existe um número real M>0 tal que, para todo n,
|a_n| \le M.
Aqui a_n é o n-ésimo termo da sequência e |a_n| é o valor absoluto de a_n. Intuitivamente: todos os termos cabem dentro do intervalo [-M,M].

Passo 3

Definição de sequência de Cauchy (explicação didática): uma sequência (a_n)_{n\ge1} é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe um N\in\mathbb{N} tal que, para quaisquer m,n\ge N,
|a_n-a_m|<\varepsilon.
Ou seja, à medida que avançamos na sequência, todos os termos ficam arbitrariamente próximos entre si. A ideia é que depois de um certo ponto os termos “se aglomeram” dentro de uma bola de raio \varepsilon.

Passo 4

Escolha do exemplo (motivo da escolha): considere a sequência definida por
a_n = (-1)^n,\quad n=1,2,3,\dots
Essa é a clássica sequência alternante que assume apenas os valores 1 (quando n é par) e -1 (quando n é ímpar). É simples de manipular e serve bem para mostrar a diferença entre “limitada” e “Cauchy”.

Passo 5

Mostrando que (a_n) é limitada: para todo n tem-se a_n\in\{-1,1\}, então
|a_n|\le 1 \quad\text{para todo }n.
Logo basta tomar M=1 na definição de sequência limitada; portanto (a_n) é limitada.

Passo 6

Mostrando que (a_n) não é de Cauchy (passo a passo, usando a definição): escolha \varepsilon=1. Para provar que a sequência não é Cauchy, basta mostrar que não existe N que satisfaça a condição da definição para esse \varepsilon.
Seja qualquer N\in\mathbb{N}. Podemos escolher um n\ge N par (por exemplo, tome n como o maior número par \ge N, ou simplesmente n=2\lceil N/2\rceil), e então tome m=n+1 (que é ímpar). Esses m,n satisfazem m,n\ge N. Agora calcule a diferença:
|a_n-a_m| = |1-(-1)| = 2.
Como 2\ge 1=\varepsilon, não vale |a_n-a_m|<\varepsilon. Isso mostra que para o \varepsilon escolhido não existe N que torne todos os pares m,n\ge N com diferença menor que \varepsilon. Portanto a sequência não é de Cauchy.

Passo 7

Interpretação e intuição (para a prova): a sequência alterna eternamente entre 1 e -1, ou seja, mesmo muito adiante na sequência ainda há termos que se distanciam de 2 uns dos outros. Uma sequência de Cauchy exigiria que, a partir de algum índice, todos os termos ficassem muito próximos entre si — aqui isso nunca acontece. Em espaços completos como \mathbb{R}, ser Cauchy é equivalente a convergir; como (a_n) não converge, isso também confirma que não é Cauchy.

Resposta

(a_n) = ((-1)^n)_{n\ge1} (é limitada, pois |a_n|\le1 para todo n, e não é de Cauchy, pois para \varepsilon=1 há sempre m,n\ge N com |a_n-a_m|=2).

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