Dê um exemplo de uma sequência limitada que não seja uma seqüência de Cauchy. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede: “Dê um exemplo de uma sequência limitada que não seja uma sequência de Cauchy” e justifique por que a sequência escolhida é limitada e por que não é de Cauchy. Não há outros dados fornecidos.
Passo 2
Definição de sequência limitada (explicação didática): uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que, para todo
,
Aqui
é o
-ésimo termo da sequência e
é o valor absoluto de
. Intuitivamente: todos os termos cabem dentro do intervalo
.
Passo 3
Definição de sequência de Cauchy (explicação didática): uma sequência
é de Cauchy se, para todo
, existe um
tal que, para quaisquer
,
Ou seja, à medida que avançamos na sequência, todos os termos ficam arbitrariamente próximos entre si. A ideia é que depois de um certo ponto os termos “se aglomeram” dentro de uma bola de raio
.
Passo 4
Escolha do exemplo (motivo da escolha): considere a sequência definida por
Essa é a clássica sequência alternante que assume apenas os valores
(quando
é par) e
(quando
é ímpar). É simples de manipular e serve bem para mostrar a diferença entre “limitada” e “Cauchy”.
Passo 5
Mostrando que
é limitada: para todo
tem-se
, então
Logo basta tomar
na definição de sequência limitada; portanto
é limitada.
Passo 6
Mostrando que
não é de Cauchy (passo a passo, usando a definição): escolha
. Para provar que a sequência não é Cauchy, basta mostrar que não existe
que satisfaça a condição da definição para esse
.
Seja qualquer
. Podemos escolher um
par (por exemplo, tome
como o maior número par
, ou simplesmente
), e então tome
(que é ímpar). Esses
satisfazem
. Agora calcule a diferença:
Como
, não vale
. Isso mostra que para o
escolhido não existe
que torne todos os pares
com diferença menor que
. Portanto a sequência não é de Cauchy.
Passo 7
Interpretação e intuição (para a prova): a sequência alterna eternamente entre
e
, ou seja, mesmo muito adiante na sequência ainda há termos que se distanciam de
uns dos outros. Uma sequência de Cauchy exigiria que, a partir de algum índice, todos os termos ficassem muito próximos entre si — aqui isso nunca acontece. Em espaços completos como
, ser Cauchy é equivalente a convergir; como
não converge, isso também confirma que não é Cauchy.