Seja \left(c_{n}\right) a sequência definida por c_{n}=\frac{n+5}{5 n}, n \in \mathbb{N}.
(a) Utilizando a definição de sequência de Cauchy, verifique se \left(c_{n}\right) é uma sequência de Cauchy em \mathbb{R}.
(b) Determine se a sequência ( c_{n} ) é convergente ou divergente. Justifique rigorosamente sua resposta e, no caso de convergência, determine o seu limite.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \left(c_{n}\right) definida por
c_{n}=\frac{n+5}{5n},\qquad n\in\mathbb{N}.
As perguntas são:
(a) Usando a definição de sequência de Cauchy, verificar se \left(c_{n}\right) é uma sequência de Cauchy em \mathbb{R}.
(b) Determinar se \left(c_{n}\right) é convergente ou divergente. Em caso de convergência, encontrar o limite e justificar rigorosamente.
Nota útil (uma simplificação algébrica que facilita as contas): para todo n\in\mathbb{N}
c_{n}=\frac{n+5}{5n}=\frac{n}{5n}+\frac{5}{5n}=\frac{1}{5}+\frac{1}{n}.

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (de forma prática): uma sequência \left(c_{n}\right) é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que para todo m,n\ge N vale
|c_{n}-c_{m}|<\varepsilon.
Vou aplicar essa definição diretamente à sequência dada, estimando |c_{n}-c_{m}| e mostrando como escolher N em função de \varepsilon.

Passo 3

Calculemos a diferença entre dois termos quaisquer, usando a forma simplificada c_{n}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{n}:
|c_{n}-c_{m}|=\left|\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{n}\right)-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{m}\right)\right|=\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|.
Usando a desigualdade triangular \left|a-b\right|\le|a|+|b| obtemos
\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|\le\frac{1}{n}+\frac{1}{m}.
Se tomarmos m,n\ge N então \dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{N} e \dfrac{1}{m}\le\dfrac{1}{N}, logo
|c_{n}-c_{m}|\le\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\le\frac{1}{N}+\frac{1}{N}=\frac{2}{N}.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de Cauchy: dado um \varepsilon>0, basta escolher N\in\mathbb{N} tal que
\frac{2}{N}<\varepsilon.
Por exemplo, qualquer N inteiro com N>\dfrac{2}{\varepsilon} serve (pode-se tomar N=\left\lfloor\dfrac{2}{\varepsilon}\right\rfloor+1). Para esse N, sempre que m,n\ge N vale |c_{n}-c_{m}|\le 2/N<\varepsilon. Portanto a condição da definição de Cauchy é satisfeita e concluímos que \left(c_{n}\right) é uma sequência de Cauchy em \mathbb{R}.

Passo 5

Agora a parte da convergência. Já observamos que
c_{n}=\frac{1}{5}+\frac{1}{n}.
Intuitivamente \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, então esperamos \lim_{n\to\infty}c_{n}=\dfrac{1}{5}. Façamos a prova \varepsilon- N:
Dado \varepsilon>0, escolha N\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{N}<\varepsilon,
por exemplo N=\left\lfloor\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rfloor+1. Se n\ge N então
\left|c_{n}-\frac{1}{5}\right|=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra que, por definição, \displaystyle\lim_{n\to\infty}c_{n}=\frac{1}{5}. Em particular a sequência é convergente.

Passo 6

Observação final curta e motivadora: deu para fazer a prova de Cauchy diretamente usando uma estimativa simples. Alternativamente, poderia-se ter observado que toda sequência convergente em \mathbb{R} é Cauchy (completude de \mathbb{R}), então a convergência para \dfrac{1}{5} já implicaria que a sequência é Cauchy. Aqui mostrei as duas coisas de forma elementar e rigorosa.

Resposta

(a) Sim, \left(c_{n}\right) é uma sequência de Cauchy em \mathbb{R}.
(b) A sequência é convergente e \displaystyle\lim_{n\to\infty}c_{n}=\frac{1}{5}.

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