Utilizando a definição de sequência de Cauchy, determine quais das sequências abaixo são sequências de Cauchy em \mathbb{R}. Justifique rigorosamente cada caso. z_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}.
Passo 1
O enunciado dá uma única sequência z_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n} e pede para determinar se essa sequência é uma sequência de Cauchy em \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
A sequência é z_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n} para n\in\mathbb{N}.
A pergunta: “É (z_n) uma sequência de Cauchy em \mathbb{R}?” — deve ser justificada rigorosamente usando a definição de sequência de Cauchy.
Passo 2
Vou lembrar a definição de sequência de Cauchy (e explicar cada parte):
Uma sequência (x_n) é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todos n,m\ge N, vale
|x_n-x_m|<\varepsilon.
Aqui:
\varepsilon>0 é qualquer tolerância (quão pequena queremos a diferença);
N pode depender de \varepsilon;
a condição deve valer para todos os pares n,m suficientemente grandes (ambos ≥ N).
O objetivo é, portanto, a partir da expressão de z_n, dada uma \varepsilon>0, encontrar um N que torne |z_n-z_m|<\varepsilon sempre que n,m\ge N. Vou fazer isso diretamente.
Passo 3
Calcule a diferença entre dois termos quaisquer da sequência e simplifique a estimativa usando desigualdades básicas:
Agora transforme a estimativa anterior numa forma conveniente para usar a definição de Cauchy. Se n,m\ge N então \dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{N} e \dfrac{1}{m}\le\dfrac{1}{N}, logo
Dado um \varepsilon>0, escolha N\in\mathbb{N} tal que
N>\frac{2}{\varepsilon}.
Isso garante que \dfrac{2}{N}<\varepsilon. Então, sempre que n,m\ge N teremos, pelas desigualdades do passo anterior,
|z_n-z_m|\le\frac{2}{N}<\varepsilon.
Isso satisfaz exatamente a definição de sequência de Cauchy: para todo \varepsilon>0 existe N (especificado acima) tal que para todo n,m\ge N vale |z_n-z_m|<\varepsilon.
Passo 6
Como alternativa (apenas para reforçar a intuição), nota-se que |z_n|=\dfrac{1}{n}\to 0. Em \mathbb{R} (espaço completo), toda sequência convergente é de Cauchy; portanto a convergência para 0 também implica que (z_n) é de Cauchy. Mas a prova direta pelo passo anterior já resolve usando apenas a definição.
Resposta
A sequência z_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n} é uma sequência de Cauchy em \mathbb{R}.