Identifique cada uma das cônicas abaixo, identificando seus principais elementos.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a cônica dada por 4x²+9y²–8x–36y+10=0, indicando seu tipo e principais elementos (centro, eixos, vértices, focos, excentricidade). O conteúdo envolve Seções Cônicas e vamos precisar completar quadrados para colocar a equação na forma padrão.
Passo 2
Primeiro, agrupamos os termos em x e y e aplicamos Completar Quadrados. Temos 4x²–8x = 4(x²–2x) e 9y²–36y = 9(y²–4y). Em cada grupo, usamos (t–h)² = t²–2ht+h² para reescrever:
Passo 3
Substituindo na equação original e somando constantes:
Passo 4
Agora colocamos na forma padrão de elipse dividindo ambos os lados por 30:
Passo 5
Reconhecemos uma elipse com centro em (1,2). Aqui a² =7,5 e b² =10/3 ≈3,333. Como a²> b², o eixo maior é horizontal.
Para achar focos e vértices, usamos c² = a²–b² =7,5–3,333 =4,167 ⇒ c ≈2,041 e excentricidade e = c/a = 2,041/√7,5 ≈0,745. Os vértices no eixo maior são (1±√7,5, 2) e no eixo menor (1, 2±√(10/3)). Os focos são (1±c,2).
Para achar focos e vértices, usamos c² = a²–b² =7,5–3,333 =4,167 ⇒ c ≈2,041 e excentricidade e = c/a = 2,041/√7,5 ≈0,745. Os vértices no eixo maior são (1±√7,5, 2) e no eixo menor (1, 2±√(10/3)). Os focos são (1±c,2).
Resposta
É uma elipse de centro (1,2), eixo maior horizontal com a=√7,5≈2,739 e eixo menor com b=√(10/3)≈1,826. Vértices principais: (1±2,739,2). Vértices secundários: (1,2±1,826). Focos: (1±2,041,2). Excentricidade e≈0,745.