Seja
tais que
para todo
. Seja
. Prove que somente uma das afirmações ocorre:
i) Ou
converge;
ii)
diverge para infinito;
i) Ou
ii)
Passo 1
Neste exercício temos uma sequência de termos não negativos
e definimos as somas parciais
. O conteúdo principal é a convergência de sequências monótonas, e vamos usar o Teorema da Convergência Monótona (sequência crescente e limitada converge).
Passo 2
Primeiro, mostramos que
é monótona crescente. Observamos que
Logo,
Passo 3
Se
for limitada acima, pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge para algum limite finito.
Passo 4
Se
não for limitada acima, então para todo
existe
tal que
. Como
é crescente, para todo
temos
, isto é,
diverge para
.
Resposta
Como
é crescente, ou ela é limitada acima e converge, ou não é limitada e diverge para
.