Seja an >= 0 tais que n para todo Sn:=a1+ldots+an. Seja Sn. Prove que somente uma das afirmações ocorre:
i) Ou Ou Sn converge;
ii) diverge para infinito;

Passo 1

Neste exercício temos uma sequência de termos não negativos an e definimos as somas parciais Sn = a1 + cdots + an. O conteúdo principal é a convergência de sequências monótonas, e vamos usar o Teorema da Convergência Monótona (sequência crescente e limitada converge).

Passo 2

Primeiro, mostramos que Sn é monótona crescente. Observamos que
Sn+1 - Sn = an+1 >= 0
Logo, Sn só pode seguir dois caminhos: se for limitada acima ou se não for limitada.

Passo 3

Se Sn for limitada acima, pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge para algum limite finito.

Passo 4

Se Sn não for limitada acima, então para todo M>0 existe N tal que SN > M. Como Sn é crescente, para todo n>= N temos Sn ,>= SN > M, isto é, Sn diverge para +infty.

Resposta

Como Sn é crescente, ou ela é limitada acima e converge, ou não é limitada e diverge para +infty.

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