De um exemplo em que a série sumn=1^infty an com termos positivos seja convergente e a série sumn=1^infty raizan seja divergente.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de uma série de termos positivos sum an que seja convergente, mas cuja série transformada sum raizan seja divergente. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da p-série.

Passo 2

O teste da p-série diz que sumn=1^infty 1n^p converge se e somente se p>1, e diverge para p<=1. Essa teoria nos dá um caminho direto para construir o exemplo.

Passo 3

Escolhemos an=1n^2. Então temos:
  • sumn=1^infty an = sumn=1^infty 1n^2, que converge pelo teste da p-série com p=2>1.
  • raizan=raiz1n^2=1n, e assim sumn=1^infty raizan=sumn=1^infty 1n, que é a série harmônica e diverge.

Resposta

Um exemplo é an=1n^2. A série sumn=1^infty an=sumn=1^infty1n^2 converge, enquanto sumn=1^inftyraizan=sumn=1^infty1n diverge.

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