De um exemplo em que a série
com termos positivos seja convergente e a série
seja divergente.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de uma série de termos positivos
que seja convergente, mas cuja série transformada
seja divergente. O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da p-série.
Passo 2
O teste da p-série diz que
converge se e somente se
, e diverge para
. Essa teoria nos dá um caminho direto para construir o exemplo.
Passo 3
Escolhemos
. Então temos:
-
, que converge pelo teste da p-série com . -
, e assim , que é a série harmônica e diverge.
Resposta
Um exemplo é
. A série
converge, enquanto
diverge.