Dê um exemplo de um sistema de oscilador harmônico amortecido que não seja o sistema massa-mola. Encontre a equação diferencial para o movimento oscilatório para o exemplo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de um sistema de oscilador harmônico amortecido que não seja o sistema massa-mola. Além disso, precisamos encontrar a equação diferencial que descreve o movimento oscilatório desse exemplo. Vamos usar conceitos de física sobre oscilações e amortecimento para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher um sistema que oscila de forma harmônica, ou seja, segue um movimento periódico, e que tenha amortecimento, que é uma força que reduz a amplitude das oscilações ao longo do tempo. Mas esse sistema não pode ser o clássico massa-mola. Um bom exemplo é o pêndulo simples com amortecimento.

Passo 3

No pêndulo simples com amortecimento, temos uma massa (o peso do pêndulo) pendurada por um fio que permite oscilar. O amortecimento pode ser devido ao ar ou a algum fluido que resiste ao movimento, fazendo com que as oscilações diminuam com o tempo.

Passo 4

Vamos agora formular a equação diferencial para esse sistema. A força restauradora no pêndulo é proporcional ao deslocamento angular, e o amortecimento é proporcional à velocidade angular. Aplicando a segunda lei de Newton para rotação, temos:
I d^2thetadt^2 + b dthetadt + k theta = 0
Onde:
  • $ I $ é o momento de inércia do pêndulo,
  • $ b $ é o coeficiente de amortecimento,
  • $ k $ é a constante elástica equivalente que relaciona com a gravidade e o comprimento do fio,
  • $ \theta $ é o ângulo de deslocamento.

Passo 5

Simplificando, geralmente consideramos que $ I = m L^2 $ (onde $ m $ é a massa e $ L $ é o comprimento do fio) e $ k = m g L $ (com $ g $ sendo a aceleração da gravidade). Substituindo na equação, temos:
I = m L^2
Dividindo toda a equação por $ m L^2 $:
m

Passo 6

Essa é a equação diferencial que descreve o movimento oscilatório de um pêndulo com amortecimento. Ela mostra como o ângulo $ \theta $ varia no tempo, levando em conta tanto a força restauradora da gravidade quanto o efeito do amortecimento.

Resposta

A equação diferencial para o movimento oscilatório de um pêndulo simples com amortecimento é:
d^2thetadt^2 + bm L^2 dthetadt + gL theta = 0

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