Dê um exemplo de um sistema de oscilador harmônico amortecido que não seja o sistema massa-mola. Encontre a equação diferencial para o movimento oscilatório para o exemplo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de um sistema de oscilador harmônico amortecido que não seja o sistema massa-mola. Além disso, precisamos encontrar a equação diferencial que descreve o movimento oscilatório desse exemplo. Vamos usar conceitos de física sobre oscilações e amortecimento para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher um sistema que oscila de forma harmônica, ou seja, segue um movimento periódico, e que tenha amortecimento, que é uma força que reduz a amplitude das oscilações ao longo do tempo. Mas esse sistema não pode ser o clássico massa-mola. Um bom exemplo é o pêndulo simples com amortecimento.
Passo 3
No pêndulo simples com amortecimento, temos uma massa (o peso do pêndulo) pendurada por um fio que permite oscilar. O amortecimento pode ser devido ao ar ou a algum fluido que resiste ao movimento, fazendo com que as oscilações diminuam com o tempo.
Passo 4
Vamos agora formular a equação diferencial para esse sistema. A força restauradora no pêndulo é proporcional ao deslocamento angular, e o amortecimento é proporcional à velocidade angular. Aplicando a segunda lei de Newton para rotação, temos:
Onde:
- $ I $ é o momento de inércia do pêndulo,
- $ b $ é o coeficiente de amortecimento,
- $ k $ é a constante elástica equivalente que relaciona com a gravidade e o comprimento do fio,
- $ \theta $ é o ângulo de deslocamento.
Passo 5
Simplificando, geralmente consideramos que $ I = m L^2 $ (onde $ m $ é a massa e $ L $ é o comprimento do fio) e $ k = m g L $ (com $ g $ sendo a aceleração da gravidade). Substituindo na equação, temos:
Dividindo toda a equação por $ m L^2 $:
Passo 6
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento oscilatório de um pêndulo com amortecimento. Ela mostra como o ângulo $ \theta $ varia no tempo, levando em conta tanto a força restauradora da gravidade quanto o efeito do amortecimento.
Resposta
A equação diferencial para o movimento oscilatório de um pêndulo simples com amortecimento é: