O que é o tempo de decaimento associado a um sistema de oscilador harmônico amortecido com amortecimento fraco? Discuta seu significado.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para entendermos o que é o tempo de decaimento em um sistema de oscilador harmônico amortecido com amortecimento fraco. Isso faz parte da física de osciladores e vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e exponenciais para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona um oscilador harmônico amortecido. A equação que descreve esse sistema é:
Aqui, $ m $ é a massa, $ b $ é o coeficiente de amortecimento, e $ k $ é a constante elástica.
Passo 3
Como o amortecimento é fraco, isso significa que $ b $ é pequeno. Nesse caso, a solução da equação é uma oscilação com amplitude decrescente ao longo do tempo. A forma geral da solução é:
Onde:
- $ A $ é a amplitude inicial,
- $ \gamma = \frac{b}{2m} $ é a taxa de decaimento,
- $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \gamma^2} $ é a frequência angular,
- $ \delta $ é a fase inicial.
Passo 4
O tempo de decaimento ($ \tau $) é o tempo que leva para a amplitude da oscilação diminuir para $ \frac{1}{e} $ (aproximadamente 36,8%) do seu valor inicial. Matematicamente, isso é dado por:
Esse tempo é uma medida de quão rápido a oscilação está perdendo energia devido ao amortecimento.
Passo 5
Então, o tempo de decaimento é fundamental para entender quanto tempo um sistema oscilatório leva para “esfriar” ou perder sua amplitude significativa. Em sistemas com amortecimento fraco, $ \tau $ é relativamente grande, indicando que as oscilações continuam por mais tempo antes de se dissiparem completamente.
Resposta
O tempo de decaimento associado a um sistema de oscilador harmônico amortecido com amortecimento fraco é dado por $ \tau = \frac{2m}{b} $. Esse tempo representa a duração necessária para que a amplitude das oscilações diminua para $ \frac{1}{e} $ do seu valor inicial, indicando quão rapidamente o sistema perde energia devido ao amortecimento.