Seja uma função de . A média de no intervalo , denotada por , é definida como
f(x)=1b-a integrala^b f(x) d x
Considere a expressão obtida, na questão , para a energia mecânica instantânea associada ao oscilador harmônico amortecido e obtenha a expressão da energia mecânica média no intervalo de [0, T], onde T é o período da oscilação. Considere também o regime de amortecimento fraco ( gamma< ) e a fase inicial varphi=0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a energia mecânica média de um oscilador harmônico amortecido no intervalo de $ [0, T] $, onde $ T $ é o período da oscilação. Para isso, vamos usar o conceito de média de uma função que é dado por:
[0, T]
Aqui, $ f(x) $ será a energia mecânica instantânea do oscilador. Vamos precisar entender a expressão dessa energia instantânea e aplicar a definição de média no intervalo de um período $ T $. Além disso, estamos considerando o amortecimento fraco, ou seja, $ \gamma << \omega_0 $, e a fase inicial $ \varphi = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica $ E(t) $ de um oscilador harmônico é a soma da energia cinética $ K(t) $ e da energia potencial $ U(t) $:
E(t)
Para um oscilador harmônico amortecido, as expressões são:
K(t)
U(t)
Onde:
$ m $ é a massa,
$ k $ é a constante elástica,
$ x(t) $ é a posição no tempo $ t $.
Passo 3
Para o oscilador harmônico amortecido, a posição em função do tempo é dada por:
x(t) = A e^-gamma t cos(omega t + varphi)
Como estamos considerando $ \varphi = 0 $, simplificamos para:
varphi = 0
Aqui, $ A $ é a amplitude inicial, $ \gamma $ é a taxa de amortecimento, e $ \omega $ é a frequência angular.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ x(t) $ para encontrar a velocidade $ \frac{dx}{dt} $:
x(t)
Então, a energia cinética fica:
dxdt
E a energia potencial:
dxdt = -A e^-gamma t (gamma cos(omega t) + omega sin(omega t))
Passo 5
Somando $ K(t) $ e $ U(t) $, temos a energia mecânica instantânea:
K(t)
No caso de amortecimento fraco ($ \gamma << \omega_0 $), podemos negligenciar os termos que contêm $ \gamma^2 $ e $ \gamma \omega $, simplificando para:
U(t)
Sabendo que $ k = m \omega_0^2 $ e $ \omega \approx \omega_0 $ para amortecimento fraco, simplificamos mais:
E(t) = 12 k A^2 e^-2gamma t cos^2(omega t) + 12 m A^2 e^-2gamma t (gamma^2 cos^2(omega t) + omega^2 sin^2(omega t) + 2gamma omega sin(omega t)cos(omega t))
Somando os termos:
gamma << omega0
Porque $ \cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t) = 1 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia mecânica média $ \overline{E} $ no intervalo de um período $ T $:
E
Simplificando:
T
Integrando:
E = 1T integral0^T E(t) , dt = 1T integral0^T 12 m omega0^2 A^2 e^-2gamma t , dt
Então:
E = m omega0^2 A^22T integral0^T e^-2gamma t , dt
Resposta
A energia mecânica média do oscilador harmônico amortecido no intervalo $ [0, T] $ é dada por: