Determine se o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
A pergunta é: determinar se
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes fornecidas:
- Um vetor
pertence a exatamente quando . - Não há outras restrições (por exemplo, não foi dito nada sobre fechamento por soma ou escalares — isso é o que temos que verificar).
Passo 2
Lembrete do que significa ser subespaço vetorial (vamos mastigar bem):
Um subconjunto de um espaço vetorial
(aqui
) é subespaço se, e somente se, as três propriedades seguintes valem:
Um subconjunto
-
contém o vetor zero, isto é, . -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Essas três condições são necessárias e suficientes; na prática costuma-se verificar (1) e depois as propriedades de fechamento (2) e (3).
Passo 3
Verificar se o vetor zero está em
.
O vetor zero é
. Calculando o produto das coordenadas:
Como o produto é zero, temos
. Portanto a condição (1) está satisfeita.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja um vetor arbitrário
. Pela definição de
,
. Tome um escalar qualquer
e considere
. O produto das coordenadas deste novo vetor é
Como
, segue que
. Logo
. Portanto
é fechado sob multiplicação escalar (condição (3) satisfeita).
Observação alternativa (equivalente): qualquer vetor de
tem ou
ou
; multiplicando por
mantém essa propriedade.
Passo 5
Verificar fechamento sob adição (a propriedade que costuma falhar em uniões de subespaços).
Para
tentar ser subespaço precisa valer: se
e
então
, ou seja,
deve ocorrer sempre.
Mostramos que isso nem sempre acontece com um contraexemplo simples. Considere
Ambos pertencem a
porque
e
. Soma:
Agora calcule o produto das coordenadas de
:
Portanto
. Isso mostra que
NÃO é fechado sob adição, então a condição (2) falha.
Passo 6
Conclusão lógica: já que
não é fechado sob adição,
não satisfaz todas as condições para ser subespaço vetorial de
. Mesmo contendo o zero e sendo fechado por escalares, a falta de fechamento por soma é suficiente para concluir que
não é subespaço.
Intuição geométrica rápida (para fixar):
é a união do eixo
(ou seja
) com o eixo
(ou seja
). Cada eixo isoladamente é subespaço, mas a união de dois subespaços em geral não é subespaço, salvo se um estiver contido no outro — o que não ocorre aqui.
Resposta
Não —
não é subespaço vetorial de
.