Determine se o conjunto
U=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x y=0\right\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y = 0\}.
A pergunta é: determinar se U é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um vetor (x,y) pertence a U exatamente quando \,x y = 0.
  • Não há outras restrições (por exemplo, não foi dito nada sobre fechamento por soma ou escalares — isso é o que temos que verificar).

Passo 2

Lembrete do que significa ser subespaço vetorial (vamos mastigar bem):
Um subconjunto W de um espaço vetorial V (aqui V=\mathbb{R}^2) é subespaço se, e somente se, as três propriedades seguintes valem:
  1. W contém o vetor zero, isto é, (0,0)\in W.
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c\,u\in W.
Essas três condições são necessárias e suficientes; na prática costuma-se verificar (1) e depois as propriedades de fechamento (2) e (3).

Passo 3

Verificar se o vetor zero está em U.
O vetor zero é (0,0). Calculando o produto das coordenadas:
0\cdot 0 = 0.
Como o produto é zero, temos (0,0)\in U. Portanto a condição (1) está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja um vetor arbitrário (x,y)\in U. Pela definição de U, \,x y = 0. Tome um escalar qualquer c\in\mathbb{R} e considere c(x,y)=(cx,cy). O produto das coordenadas deste novo vetor é
(cx)(cy) = c^{2}\, x y.
Como x y = 0, segue que c^{2}\,x y = c^{2}\cdot 0 = 0. Logo (cx,cy)\in U. Portanto U é fechado sob multiplicação escalar (condição (3) satisfeita).
Observação alternativa (equivalente): qualquer vetor de U tem ou x=0 ou y=0; multiplicando por c mantém essa propriedade.

Passo 5

Verificar fechamento sob adição (a propriedade que costuma falhar em uniões de subespaços).
Para U tentar ser subespaço precisa valer: se (x_1,y_1)\in U e (x_2,y_2)\in U então (x_1+x_2,y_1+y_2)\in U, ou seja, (x_1+x_2)(y_1+y_2)=0 deve ocorrer sempre.
Mostramos que isso nem sempre acontece com um contraexemplo simples. Considere
u=(1,0)\quad\text{e}\quad v=(0,1).
Ambos pertencem a U porque 1\cdot 0 = 0 e 0\cdot 1 = 0. Soma:
u+v = (1,0)+(0,1) = (1,1).
Agora calcule o produto das coordenadas de u+v:
1\cdot 1 = 1 \neq 0.
Portanto (1,1)\notin U. Isso mostra que U NÃO é fechado sob adição, então a condição (2) falha.

Passo 6

Conclusão lógica: já que U não é fechado sob adição, U não satisfaz todas as condições para ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Mesmo contendo o zero e sendo fechado por escalares, a falta de fechamento por soma é suficiente para concluir que U não é subespaço.
Intuição geométrica rápida (para fixar): U é a união do eixo x (ou seja \{(x,0)\}) com o eixo y (ou seja \{(0,y)\}). Cada eixo isoladamente é subespaço, mas a união de dois subespaços em geral não é subespaço, salvo se um estiver contido no outro — o que não ocorre aqui.

Resposta

Não — U não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

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